§7.1. Закон Кирхгофа для квантовых усилителей

Интенсивность собственного шумового излучения лазера или ма­зера, работающего в линейном стационарном режиме, может быть определена без помощи квантовой электродинамики из общих сообра­жений, основанных на некоторых закономерностях неравновесной тер­модинамики типа формулы Найквиста (или флуктуационно диссипа-тнвной теоремы — ФДТ) и закона Кирхгофа для теплового излучения.

Закон Кирхгофа для одной моды. Пусть идеальный волновод заполнен однородным веществом, имеющим температуру Т — термоди­намическую или эффективную. Рассмотрим электромагнитную энер­гию, переносимую одним волноводным типом поля (например, tfoi в прямоугольном волноводе) в стационарном случае. Пусть волновод соединен с согласованными источником сигнала и нагрузкой, так что обратная волна независима от прямой (рис. 7.1).

©

No I ea_a*(i-5)Jf

Нас будет интересовать спектральная плотность мощности 5*j.(fl>, z) = Д574/, т. е. энергия некогерентного излучения с часто­той га=2л/>0, переносимая че-

рез сечение г за 1 с в полосе ча- стот 1 Гц. Легко показать, что 5*Доэ, г) в единицах Йю=А/ сов- падает со средним числом фото- v/_/wMW//w^ww/Wtf//W» нов JV (ы, г), приходящихся на одну о ia/V г продольную моду волновода: Рис. 7.1. Волноводный закон Кирхго-

й, и _a hfu kfu _д, . ₍„ Ф^а- ^Ш>™Ь1 волновода определяются 3 ^ = -г- © j = N^ = -т— gjiv = и]JV. конкуренцией поглощения « и спонтан- ного излучения /=«й1У\ где Jf= (7.1.1) = NzHNi—Ns) — функция Планка „ и N; — населенности уровней. В ре-

одесь u = diujdk — групповая СКО- зультате шумы выражаются через рость (й—постоянная распрОСТра- коэффициент передачи G=e-^a * и тем- нения); L-— длина некоторого от- пературу Т

резка волновода, много большего

длины волны \ = 2л/к, но много меньше расстояния, на котором ^_}(г) заметно изменяется; £_г—спектральная плотность энергии ма­крополя в отрезке L; N_f s $₍jhf — число фотонов в L на 1 Гц, равное N, умноженному на спектральную плотность продольных мод g_f = LdK~^lidm = LJu. Обратная величина u/L равна интервалу Между собственными частотами соседних мод (подробнее о понятии моды см. § 7.3).

Будем исходить из линейного кинетического уравнения для N (ш, г) вида

dNtdz=—a.N+j. (7.1.2)

Здесь a (to) — коэффициент поглощения или усиления за счет вынуж­денных переходов и /(*>)>0 — распределенный источник шума, вы­званного спонтанным излучением. Это уравнение описывает феномено­логически стационарное взаимодействие вещества с одной поперечной модой поля, необязательно в волноводе⁴,. Его полезно сравнить с одно­мерными уравнениями (6.3.22) для «медленных» амплитуд и с соотно­шениями Эйнштейна для нестационарного взаимодействия (2.5.2). Очевидно, что а~В(М_г—JV₂) и j~AM₃, где А, В — коэффициенты Эйнштейна и N_t— населенности пары уровней, разделенных интерва­лом Аа.

Решение (2) имеет вид

N-Nfi+Wa)(l—Q), <?(«, 2)=ехр[—а (а) г], (7.1.3)

где JV₀— сигнал на входе усилителя и О — коэффициент передачи волновода. Второе слагаемое здесь, не зависящее от входного сигнала, является собственным шумом волновода.

Выразим отношение f/a через температуру вещества. Пусть аг^>1, тогда согласно (3) N=j/a. С другой стороны, в достаточно длинном волноводе с затуханием должно установиться равновесное излучение, в котором среднее число фотонов на моду определяется функцией Планка jf. Следовательно,

j/a = <ЛГ = [ехр (Йш/кТ) — 1 ]-⁵ =

= (1/2) [cth (£о>/2кГ)— 1 ] = (7.1.4)

Этот вывод является строгим лишь для полностью равновесной систе­мы, в которой населенности jV_f и число фотонов N подчиняются рас­пределениям Больцмана и Планка соответственно.

Разумно предположить, однако, что (4, приближенно остается верным и при отсутствии равновесного излучения, например при az^l и JV₀=0. При этом параметр Т относится уже лишь к веществу, температура которого поддерживается постоянной и однородной, не­смотря на радиационное охлаждение («квазиравновесие»). Для этого необходимо, чтобы излучающие и поглощающие на частоте <а степени свободы взаимодействовали с термостатом много сильнее, чем с полем ⁶). Формула (3) при #0=0 описывает в этом приближении процесс про­странственного установления равновесного шганковского поля (с од­ним направлением распространения) в волноводе или слое вещества с протяженностью г, температурой Т и коэффициентом поглощения а (а):

(7.1.5)

N = dS\ Л = \ —G.

Здесь <А — поглощательная способность волновода или слоя (в общем случае надо учесть отражения на входе и выходе), она может быть из­мерена согласно (3) с помощью внешнего сигнала: Л = \—6N/dN_a.

-1

Формула (5) выражает закон Кирхгофа, связывающий тепловое излучение нагретого вещества с его термодинамическим параметром f л" кинетическим параметром Л. Его _легко вывести в форме (5), не прибегая _к кинетическому уравнению [25]. Отме­тим, чт° этот закон используется для построения фотометрических Эталонов интенсивности света, хотя в принципе он Применим лишь в приближениях сильной связи с термостатом, линейной и геометрической оптики (о его возможных обобщениях см. [37]).

-2

-3

-2

Закон Кирхгофа для отрицательной температуры- Феноменологическая связь спонтанных и вынужденных эффектов с населен ностями уровней j/a,=N_i!(N₁—N_i) подтверждается с помощью модель­ных расчетов с двухуровневым веще­ством. Прн этом она обобщается на не­равновесное вещество с неболЬцманов-скими Удобно и в этом приближении сохранить формулу (4) и закон Кирхгофа в форме (5), отождествляя Т с эффектив­ной (или, иначе, спиновой) температурой 7"_аф, определяемой из действительного от­ношения населенностей ехр(Яа>ЫТ^)^ ^NJN_t (§3.2).

Из определения функции <№(Т) следует, что при инверсии насе­ленностей , когда а и Т меньше нуля, сДГ также отрицательна (рис. 7.2): сЛГ (— Т)*= — [<№{Т) + 1], поэтому закон Кирхгофа можно написать в виде

поскольку a = a(N_l—JV_a) = a₀th (h(o/2xT), где ec₀—коэффициент'по-глощения при Т = +0.

В частности, при полной инверсии JV₁₌=0, Г = — 0, <№ =—1, так что спектральная плотность шума одномодового идеального квантового усилителя в единицах hf равна просто коэффициенту передачи без единицы:

ИЛИ (рис. 7.3)

N = №(-T) ₊ l)(G— I)

(7.1.6)

(7.1.7)

При наличии на входе некогерентного сигнала со спектральной плотностью мощности h[N₀ к (7) надо добавить GN₀. Результат можно представить в виде

N + l=G(N₀ + l). (7.1.8)

Эта формула дает следующий алгоритм для учета спонтанного излуче­ния (или, иначе, квантовых флуктуации) в идеальном усилителе: к числу фотонов на входе прибавляется единица, результат умножается на классический коэффициент усиления, что дает после обратного вы­читания единицы выходное число фотонов. Итак, отношение сигнал/ шум на выходе идеального квантового усилителя с большим усилением равно N₀— числу фотонов сигнала в одной моде.

Появление единиц в (8) можно интерпретировать как результат нулевых флуктуации поля, однако к этой интерпретации следует от­носиться с осторожностью [651. Квантовые флуктуации дают принци­пиальный предел чувствительности и точности квантовых усилителей, как и любых измерительных приборов. При Afj#0 к квантовым флук-туациям добавляются «тепловые», пропорциональные Ж(—Т) (см. (6)).

В радиодиапазоне часто используют понятие шумовой температуры усилителя Т_ш. По определению Т_ш равно яркостной температуре шумового излучения на выходе, отнесенного ко входу:

Ж (TJ ^ N/G = Jf (Т,_ф) (€•* - 1), (7.1 9)

_где «f—функция Планка для рассматриваемой частоты <о. Эта фор­мула дает связь Т_ш с эффективной (спиновой) температурой ве­щества T_ail. Понятие Гц, удобно лишь в классической области тем­ператур, где оЛ^р»я77&» и (9) принимает вид

что в двух предельных случаях (малое поглощение и большое усиление) дает

Т_ш = аг Т

эф

(|«|г<^1).

(7.1 10а) (7.1 Юб)

Итак, спиновая температура определяет не только отношение на­селенностей, но и предельную шумовую температуру квантового уси­лителя.

В парамагнитных усилителях IT^I имеет порядок температуры решетки рабочего кристалла, который охлаждают до температур жид­кого гелия для уменьшения Т_ш, ослабления спин-решеточной релак­сации и увеличения равновесной разности населенностей. В результате шумовая температура этих усилителей достигает нескольких Кель­винов. В то же время в обычных электронных усилителях T_os~ ~10⁼ К (из-за высокой температуры катода), в параметрических СВЧ-усилителях на полупроводниковых диодах Г_ш~100 К.

Практически Т_т в парамагнитных усилителях определяется теп­ловым излучением не рабочего вещества согласно (106), а элементов входного тракта (антенны, волноводов и невзаичных ферритовых уст­ройств) согласно (10а). Действительно, входной волновод с комнат­ной темперап рой стенок и потерями всего 1 % дает заметный вклад: Г_ш«3 К-

Нетрудно обобщить закон Кирхгофа (5) на случай, когда в волно­воде имеется несколько источников однородных линейных потерь а, и шумов /( с различными эффективными температурами Т,- (г"==1, 2, . . .). Полагая опять }_t—<x._{^i, получаем кинетическое уравнение

<ВДг = 2Х-(#-Л0, (7.1.11)

отличающееся от (2) лишь заменой а на 2 ^аг ^{11 а}^ ^Ha 2^ai^i-В результате (о) принимает вид

N = (1 — е-™) 2 (t*f/ce) (7.1.12)

где as 2 к,-. Таким образом, вклад каждого элемента в общее теп-лоеое излучение пропорционален его вкладу a_£/a в суммарный коэф­фициент поглощения.

Рассмотрим форму спектра теплового излучения в окрестности одиночного узкого резонанса при различных оптических толщинах

«г (рис. 2.4). При малых |cc|z спектр излучения повторяет спектр поглощения: N (to) = а (ш) г<№ (медленную зависимость^ от о> здесь можно не учитывать). При больших положительных аг линия упло­щается и уширяется, стремясь в пределе к равновесному спектру о0Г(ы), а при больших отрицательных аг ширина линии сужается

(как и полоса усиления,— см. (2.3.22)) и стремится к нулю

как VlnG.

Шумы мнопшодового усилителя. До сих пор речь шла об одной поперечной моде волновода. В общем случае, когда в переносе излу­чения к детектору участвуют несколько независимых мод, следует про­суммировать (5) или (11) по всем существенным модам. Если сечение волновода А много больше Х^а, то суммирование можно заменить ин­тегрированием.

При переходе к свободному пространству число наблюдаемых то­чечным детектором в ближней зоне поперечных мод (т. е. мод с одина­ковыми частотами ю_к=ск) пропорционально пространственной апер­туре излучателя Л=аЬ и угловой апертуре детектора ДЙ^Дф^Д^;

Ag_x м (аМ~\) (6ДЛ-¹ ) = AAQ/X\ (7.1.13)

где К = 2nfk (мы учитываем один тип поляризации и полагаем направление наблюдения перпендикулярным А). Согласно (13) угло­вой интервал между соседними поперечными модами имеет по­рядок дифракционного угла \/а.

Умножив (5) на энергию фотона Аа>, полосу детектора Af = = Д<о/2л и число поперечных мод Ag_L, найдем мощность многомо-дового теплового излучения с одним типом поляризации:

AS* = (ha>A<oAQA/2nk^u) (I —С), (7.1.14)

полагаем коэффициент передачи в = е~^аг и эффективную темпера­туру Т одинаковыми для близких по направлению поперечных мод.

Отношение Afp/Aa>AQA называется спектральной яркостью (или просто интенсивностью) — это основная энергетическая характери­стика некогерентного многомодового излучения. В общем случае Ie>a=I(k, г) зависит от частоты, направления и точки наблюде­ния, однако при отсутствии рассеяния, излучения к поглощения между точками г и r-f о спектральная яркость в этих точках одинакова для аргументов k, параллельных а:

/(ft, r + a) = l{k, г), ft (а;

(7.1.15)

конечно, имеет смысл говорить о смещении а точки наблюдения лишь при а^>Я.

Интегралы от / по различным переменным имеют в фотометрии специальные названия — яркость, светимость (или освещенность)_поверхНОсти, сила света ¹).

со

В (ft, г)= JdV(ft, г), £(г)=5^П5(⁷,г)сад«_к, (7.1.16) i>(z)sK$ dxdyE{r).

Здесь « = f}_ft— угол между ft и осью 2. Спектральная и объем­ная плотность энергии равна

P^.O^-^J ^dQ'(⁸.''>. (7-1-17)

4 л

где и-—групповая скорость, © = iu_s. В случае теплового излучения нагретого тела величину I (ft, г) cos 9_Й называют нзлучатмьной способностью тела (в точке г его поверхности).

Согласно (14) закон Кирхгофа для многомодового излучения слоя вещества с эффективной температурой Т и толщиной г имеет вид (ср. (6.4.18), (6.5.51)).

/«о(А)=-/⁹?#<¹⁰), (7-1.18)

где

Г£е=П®12пХ\ ЛГ(А) = ЛГ(1—(7-1-19)

(учитываем один тип поляризации). Величина /^д^с соответствует спекфальной яркости излучения, имеющего по одному фотону в каждой моде (т. е. rjg равно удвоенной «яркости нулевых флуктуа­ции» вакуума), она является естественной единицей для измерения ^ш' среднее число фотонов на моду IV равно спектральной яркости в единицах

Равновесное и спонтанное излучения, сверхлиииннесценция. Рас­смотрим три характерных случая.

1. При ctz^>I из (18) следует 1а& = PJ} что в случае изо- тропного излучения соответствует излучению абсолютно черного тела н согласно (17) при и = с/п—формуле Планка:

2р» «= (8м/с) /_йй= (8л&А³) Jf; (7.1.20)

коэффициент 2 учитывает два типа поляризации.

2. Если же \a\z<^\, то из (18) следует

/«_а =- Л¹¹o.z = fflN&l/vos %, (7.1.21)

где мы положили оптическую толщину слоя аг для моды ft равной A/_s)//cosftj. Выразим здесь сечение перехода о через диполь­ный момент перехода d„ согласно (2.3.6) и определим с помощью (16) общую мощность спонтанного излучения. Пусть п = 1, тогда

_{5*= J dtildxdyсо$% \й^1ш=(Ап^с)ЦЪ}^с_{^Ущ J d£i(rf0.eft)}^a_{, (7.1.22,}

4п А О 4П

где V=Al—объем вещества. Интеграл здесь равен 8л^о/3, так что fi/VNg совпадает с найденным ранее выражением для мощности спонтанного излучения в расчете на одну молекулу 4oJd|/3c³ [см. (5.2.16,).

3. Пусть теперь аг<^—1, тогда N*aGN и

^-^(^-^-«да.^О^Дю.ф, (7.1.23)

где мы ввели аффективные аппертуры A_ai, Д£2_вф и полосу частот Л<0_Вф (строго определяемые через соответствующие интегралы) и ко­эффициент усиления в центре линии G_a. Эта формула определяет мощность сверхАЮминесиенции—усяльтота спонтанного излучения. Положим для грубой оценки, что Л_вф совпадает с сечением усили­теля А, Дш_эф—с полосой усиления Аа> и Дй_а4, ж А/1³, где /—длина усилителя, тогда при #, = 0

(7.1.24)

При А, = 0,5 мкм, ДХ=10нм, А = 1 см^э, / = 10 см и G₀ = 10» полу­чаем ^=2-10* Вт.

На многих переходах в газах инверсию даже с помощью мощных импульсных разрядов удается получить лишь на короткое время т^10~* с из-за большого времени жизни нижнего рабочего уровня. При этом в случае длины активной области, большей ст~30 см, обрат­ная связь с помощью зеркал не успевает сработать. Излучение лазеров, использующих такие «самоограниченные» переходы (важный пример — азотный лазер с длиной волны 330 нм), является, по существу, сверх­люминесценцией.

Конечно, при достаточно больших (Л мощность сверхлюмннес-ценцин (24) может оказаться достаточной для эффекта насыщения, при этом задача становится нелинейной и закон Кирхгофа неприменим.

Усиление и полоса резонаторного усилителя. Для увеличения уси­ления при данной длине активного вещества применяют положитель­ную обратную связь с помощью объемного резонатора. Определим с помощью эквивалентной схемы коэффициент усиления G (ш) и полосу пропускания Дм отражательного резонаторного усилителя, т. е. усилителя с одним волноводом связи или одним полупрозрачным зер­калом (рис. 7.4). Разделение падающего на резонатор слабого сигнала и отраженной с усилением обратной волны осуществляется в СВЧ-диапазоне с помощью невзаимных ферритовых устройств (циркулято-ров).

Рассмотрим область спектра в окрестности одной из собственных частот резонатора и>_а. Если соответствующий тип колебания невырож­ден и ^шо достаточно удалена от других частот, то поле в произвольной точке резонатора зависит от времени аналогично параметра vi любой колебательной системы с одной степенью свободы, например аналогич­но току в LC-контуре. При этом электрическое поле имеет вид £ = (г) q{t), где и (г) — известная функция, определяемая формой ре-

ряс. ТА. Резонлторный квантовый усилитель: а) Оптического диапазона; й) СВЧ-диалэзона; е) эквивалентная схема

зонатора, a q(t) подчиняется уравнению движения гармонического осциллятора. Это позволяет для расчета отклика резонатора на мо­нохроматическое возбуждение использовать эквивалентную схему, представленную на рис. 7.4, е. Затухание (и, в соответствии с теоремой Найквиста, шумы) вносятся в схему тремя резисторами — сопротив­лением внешней нагрузки R„ (которое совпадает по предположению с волновым сопротивлением длинной линии, изображающей волновод связи), сопротивлением пропорциональным потерям в стенках ре­зонатора, и отрицательным сопротивлением R_s, пропорциональным излучению активного вещества. Мы полагаем, что ширина используе­мой спектральной линии много больше Дш, н поэтому R_s— вещест­венный параметр.

Как известно, коэффициент отражения от конца длинной линии, т. е. отношение комплексных амплитуд обратной и прямой волн, опре­деляется отношением сопротивления нагрузки (резонатора) Z_p к вол­новому сопротивлению линии R„. Например, коэффициент отражения по току равен

где

R_v = R₀ + R„ Х^-± _WL = <aL 1) « 2L fa—ш). (7.1.26)

Соотношение между R„ и остальными параметрами зависит от сте­пени связи резонатора с волноводом.

Перейдем от эквивалентных параметров R/ к безразмерным вели­чинам, имеющим непосредственный физический смысл—добротностям Qi==a>_aL/R_t или декрементам затухания d,-=l/Q,-. Величина Q„ на­зывается (магнитной) добротностью активного вещества. Разделив числитель и знаменатель (25) на a_QL, находим

где х = (ю_а — со)/щ. Усиление или ослабление по мощности при от­ражении от резонатора

(7.1.28)

Существенно, что степень связи волновода с резонатором можно изменять, поворачивая, например, петлю связи или меняя прозрач­ность зеркала. При этом нормированные потери d_H=/?_H/cj₀L, вносимые внешней цепью в резонатор, также меняются от 0 {нет связи, «глухое»

зеркало) до со (максимальная связь, зеркало отсутствует). В случае резонанса (0=ю_и) и положительных потерь в резонаторе (d_v~>0) ам­плитудный коэффициент отражения по току Кч меняется при увеличе­нии связи от —1 до +1, проходя через нуль при согласовании d_B=d_e <рис. 7.5).

Если же d_v=d_a-*_rd₁<.0, то Ко и С₀ меняются при уменьшении связи от 1 до со. Таким образом, резонаторный квантовый усилитель с доста­точно добротным резонатором (Q₀:>—Q_a) позволяет за счет регенера­ции полунить сколь угодно большое усиление слабого сигнала.

Однако по мере увеличения К» уменьшается другой важный для многих применений параметр — полоса усиления Дю. Как будет пока­зано ниже, при /Со^>1 произведение амплитудного усиления на полосу не зависит от связи:

УС₀Д«> = 2ау| Q„

(7.1.29)

"Произведение К_а&<& называется параметром регенерации, оно харак­теризует качество рабочего вещества для парамагнитных усилителей.

2!4

Согласно (28)

G—\ =

— dpda

(7.1.30)

(7.1.31)

Чтобы было G^>1, необходима почти полная компенсация потерь; — d₃ ж d„ d_a, при этом Кч л* 21 d_v\/d, так что произведение усиле­ния на полосу является константой-. K_f,Aat=2ii\\d_p\. Обычно собст­венная добротность резонатора I^SlO¹ много больше добротности активного вещества ]Q_d|^10^J, поэтому практически Q_p = Q_a, что и дает (29).

Выразим Q₃ через параметры вещества, воспользовавшись общим определением добротности как отношения запасенной в колебатель­ной системе энергии

£=. \&г(в'Т>+Щ/8п= \ &гв'и*(г)/Вя (7.1.32)

к энергии потерь за время щ¹

5*/(о₀ =- J dVe" (ш₀) и^% (г)/8я. (7.1.33)

Здесь использованы равенства £_ЭЯ = $_КЛГ, <?^в (0= V² и формула (4.1.12) для потерь в единице объема. Следовательно,

Q^ = t]87e' = ца/Л, (7.1.34)

где i}ttV/V_p^l—коэффициент заполнения резонатора активным веществом, определяемый отношением интегралов в (32) н (33); е=1+4л%, а-—погонный коэффициент усиления для плоских волн с волновым вектором k; в случае магнитного перехода под е" сле­дует понимать магнитную проницаемость. При электронном пара­магнитном резонансе а ж —5-Ю^-3 см^-1 (§ 2.3), что при ?.= 3 см и &' = т) = 1 дает Q_a = —40. Пусть К„ = 100, тогда из (29) следует Д/=5МГц. Такая полоса для многих применений (связь, радиоло­кация, радиоастрономия) недостаточна, поэтому используют системы из нескольких связанных резонаторов н замедляющие системы.

Закон Кирхгофа для резонаторного усилителя. Формула Таунса. Для учета шумов, излучаемых активным веществом, добавим в экви­валентную схему (рис. 7.4) генератор тока со спектральной плот­ностью, определяемой формулой Найквиста (см. [3], § 3.4):

i^ = inTHj\Z\\ (7.1.35)

где Z= R_a j- R$ + iX и T-—эффективная (спиновая) температура активного вещества (шумами, связанными с Q₀, пренебрегаем). Для учета квантовых шумов и7" следует заменять на &WiT. В сопротив­лении нагрузки будет выделяться спектральная мощность 5*^=i*i?_H( равная (в единицах tm)

N = WdMtf + 4л;²) = off (1—G). (7.1.36)

Здесь использовано (30) в приближении Qo^>lQa|- Итак, мы снова, в соответствии с законом Кирхгофа, выразили шумы через эффек­тивную температуру и усиление. Ширина спектра шумов Дш_ш (на уровне 1/2) согласно (36) совпадает с полосой усиления Д« (см. (31)), и поэтому при dp —»-—d_v она стремится к нулю. Шумовая темпе­ратура при G^-l и Аы<^кТ, как и в усилителе бегущей волны, совпадает по модулю со спиновой.

Найдем полную мощность шума при d_e^d_ax—-и Дю<^%:

У=С dfhaN- ^d<* - ^Atflgm (7 1 37^

Отсюда следует формула Таунса, выражающая ширину спектра собственного излучения резонаторного усилителя через общую мощ­ность излучения:

(7.1.38)

Пусть Я = I мкм, = 1 мВт=10⁴ эрг/с, Л^ = 0, а я? l/kQ_a=~0,0l см"¹, тогда

Д/=£с^аа75*А^ 1 Гц. (7.1.39)

Конечно, приведенный расчет Дьо справедлив лишь в линейном режиме усилителя ниже порога его самовозбуждения (Q„<—Q_a). Однако можно ожидать, что и выше порога (38) дает правильный поря­док для ширины спектральной линии квантового генератора (в пре­дельном случае, когда отсутствуют «технические» шумы типа вибраций зеркал). Более последовательные расчеты с учетом нелинейности из-за эффекта насыщения [13, 50—53], ограничивающего амплитуду шумов, приводят при большом превышении порога к появлению в (38) допол­нительного множителя 1/2. Это объясняется подавлением флуктуации амплитуды, дающих одинаковый с флуктуациями фазы вклад в ширину спектра. Следует помнить, что случайное медленное изменение фазы (диффузия фазы) гармонического сигнала приводит к флуктуациям его текущей частоты и к конечной ширине его спектра. Различие в форме колебаний квантового усилителя — генератора ниже и выше порога поясняется ниже (рис. 7.7).

Лишь отсутствие флуктуации амплитуды качественно отличает излучение одномодового лазера от узкополосного шума. В случае много­ходового лазера с независимыми модами и это различие исчезает.