Глава 7

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИКА

В классической электродинамике напряженность электрического поля E_a(f, ()=£(х), х^а{г, t,a,}, полагается детерминированной вели­чиной, измеримой, в принципе, со сколь угодно большой точностью (мы говорим лишь об электрическом поле, поскольку обычно оно опре­деляет наблюдаемые эффекты).

В классической статистической оптике, важным прикладным раз­делом которой является теория когерентности, Е(х) для каждого х рассматривается как случайная величина, при этом х играет роль пара­метра. Удобно, разбив пространство — время на нумерованные ячейки, считать х дискретным параметром, пробегающим счетное множество значений Х{. Таким образом, флуктуирующее световое поле описы­вается совокупностью случайных величин Ei=E(x₍) (другой способ «дискретизации» поля — разложение по модам — описан в § 7.3). Все свойства ансамбля случайных множеств {E_t} задаются многомерной функцией распределения или набором моментов (корреляционных мат­риц) {EiE_t. . ,Е_т) всевозможных порядков т (угловые скобки означа­ют усреднение с помощью функции распределения). В эксперименте усреднение производится, конечно, не по ансамблю полей, а по неко­торому пространственному и временному интервалу V_neT. Кроме того, одновременно происходит фильтрация поля по частоте и по направле­ниям распространения.

Макроскопические уравнения Максвелла с точки зрения статисти­ческой оптики — это кинетические уравнения для первых моментов (£,}, (//[). Интенсивность света и его спектр определяются вторыми моментами (E_tE/>, а n-квантовые процессы — моментами порядка 2я,

Однако классическая статистика в оптическом диапазоне, стро­го говоря, неприменима, поскольку параметр вырождения (JV} = = \.ехрф<иЫТ_b/f)—II^-1 (имеющий смысл среднего числа фотонов в одной моде или спектральной яркости /_гая в единицах %с1%^ъ^Г^) обычно много меньше единицы. Например, для зеленых лучей солнечного света (Т^бООО К, ^5»0,5 мкм) (JVJjwO.Ol и лишь в ИК-диапазоне при?,=3,5мкм достигает единицы. К немногим исключениям с Ш)^>1 относятся лазерные поля, для которых эффективная (яркостная) температура Т_зф на много порядков превышает солнечную. Отметим в связи с этим один из парадоксов в истории физики: квантовая оптика Начала интенсивное развитие лишь в лазерную эпоху, когда появи­лись световые поля с {JV}^>1 (хотя общие принципы квантовой элек­тродинамики были разработаны намного раньше).

В квантовой оптике (и электродинамике) ансамбль полей задается волновой функцией ЧГ или оператором плотности р. Угловые скобки в определении функции корреляции теперь означают операцию кван­тового усреднения с помощью W или р, при этом величины Е₍ являются операторами, действующими по определенным правилам на ^х?. Суще­ственно, что в общем случае поля в соседних точках пространства времени не коммутируют, что приводит к квантовым флуктуациям поля, к отличным от нуля моментам (E_tE/i даже в вакууме, к спонтан­ному излучению возбужденных атомов и шумам квантовых усилителей и генераторов.

Статистическая теория излучения лазеров определяет их важнейшие параметры, например максимально достижимые монохроматичность генераторов и чувствительность усилителей. Такая теория должна основываться, как и последовательная теория теплового излучения нагретых тел, на квантовой электродинамике и неравновесной термо­динамике [48, 49]. Дополнительная трудность квантовостатистического анализа лазера состоит в принципиальной роли нелинейности, опреде­ляющей за счет эффекта насыщения стационарную амплитуду колеба­ний {предельный цикл классического автогенератора).

Важнейшим достижением нелинейной квантовой теории лазера {13, 50—53] является вывод о том, что поле в резонаторе лазера, рабо­тающего при большом превышении накачки над пороговой, находится в когерентном состоянии (последнее понятие было введено в квантовую оптику Глаубером [54]). Между полем в когерентном состоянии с боль­шой амплитудой и классическим гармоническим колебанием существует тесная аналогия, и поскольку эффект насыщения проявляется лишь при больших амплитудах поля, то нелинейный режим лазера достаточ­но точно описывается полуклассической теорией. Нелинейные теории предсказывают все статистические характеристики лазерного излуче­ния: интенсивность, ширину спектра, радиус когерентности, высшие моменты.

Еще более грубое, но тем не менее полезное приближение дает ли­нейная теория шумов квантовых усилителей и генераторов (§7.1), игнорирующая эффект насыщения и пригодная поэтому лишь ниже порога самовозбуждения. Важнейшие результаты этой теории — закон Кирхгофа, выражающий интенсивность шума усилителя через его ко­эффициент усиления, и формула Таунса, связывающая «естественную» ширину линии генератора с его мощностью. Согласно линейной теории излучение имеет гауссову статистику, и поэтому эти параметры —■ ин­тенсивность и ширина спектра — полностью определяют статистику поля.

Настоящая глава посвящена основам квантовой оптики. Изложение начинается с линейной теории шумов квантовых усилителей, не требу­ющей квантования поля (§ 1). В § 2 рассмотрены основные понятия классической статистической оптики. Следующий раздел (§ 3) посвя­щен предварительному этапу квантования поля — представлению уравнений Максвелла в канонической форме, после чего само квантова­ние проводится уже без труда (§ 4). В § 5 рассмотрены основные клас­сы возможных состояний поля, а в § б — статистика фотонов и фото­_электройОВ в этих состояниях. Наконец, в § 7 мы снова возвращаемся _к вопросу о вероятности перехода в шумовом поле (§ 2.4), но теперь уже ^с учетом квантовых свойств поля.