§ 6,4. Непараметрические взаимодействия

Непараметрические (или некогерентные) эффекты нелинейной оптики, т. е. эффекты типа многофотонного поглощения, описываются восприимчивостямн нечетного порядка вида х^"¹*¹* (<а₁ = а>₁— ■ ■ ■ . .. —w_m + (o_ffl). При этом скорость изменения амплитуды моды k, пропорциональна локальной амплитуде этой же моды Е^г), мно­житель синхронизма exp(t'Aftz) не возникает и одномерные уравне­ния для ММА (6.3.17) можно представить в следующем виде:

^J^^a-|^P.--|£.P)£i-0, (6.4.1)

"K^cu!—.. .-<,)„ + (,)„) :е*е, ... е;е_я. (6.4 2)

Таким образом, вещественная часть _Xl определяет локальное из­менение постоянной распространения (т. е. длины волны или фазовой скорости) моды ki, пропорциональное локальным интенсивностям дру­гих мод (эффект индуцированной дисперсии), а мнимая часть у_л опреде­ляет дополнительное поглощение или усиление за счет энергии других мод (эффект нелинейного или индуцированного поглощения).

Умножая (1) на El или используя сразу (6.3.32), находим систему уравнений для интенсивностей (Fi^F_is):

[dldz + _Й1 -f «Г Ш Fi (г) = 0, (6.4.3)

где

2% \ ^с J п₁...п_ш

Напомним, что знаки F_t и п_{ совпадают и определяются знаком проекции k; на ось г, поэтому г⁷, может нарастать по мере рас­пространения, лишь если X, < 0.

Ниже будут рассмотрены основные типы не параметрических эф­фектов— нелинейное поглощение (включая эффект насыщения), рима­новское усиление и поглощение, спонтанное и вынужденное рас­сеяния, самофокусировка и самомодуляция, а также их значение в прикладной оптике и спектроскопии,

Нелинейное поглощение. Рассмотрим случай одной моды. Нали­чие у кубической восприимчивости мнимой части

X^й1" = I tn x^(s' (ю = to — да + to) • е"ее*е

приводит к нарушению экспоненциального закона Бугера для изме­нения интенсивности поля в веществе. Этот эффект может быть связан с двухфотонным поглощением (см. (6 2.114)), при этом %^ш" > О,

и с эффектом насыщения однофотонного резонанса, когда согласно (4.3.19)

Х^,з1"= -y.r'dbbTJjfr [1 + К-<о)= 7*|].

Пусть на прозрачную (в линейном приближении) среду перпен­дикулярно границе падает плоская монохроматическая волна, тогда согласно (3)

dF/dz + рТ⁷² = О, р== 32яФо > 0. (6.4.4)

Решение этого уравнения находится элементарно:

*(2)«F(0),|.l+pzF(0)] _ 1/6г. (6.4.5)

Последнее равенство имеет место при Z⁷ (0)^*1/рг, оно описывает эффект ограничения (рис. 6.6), при котором интенсивность i-'(z) прошедшего через слой вещества z света не зависит от интенсивности падающего света F(0).

Если F(0) испытывает флуктуации (в частности, из-за фотонной структуры поля), то двухфотонное поглощение будет нх Заглаживать, т. е. на «выходе» из слоя фотоны будут распределены во времени и простран­стве более равномерно, чем на «входе» (эффект антигруппировки фотонов — см. § 7.6).

1

Для двухфотонных межзокных пе­реходов в полупроводниках типа CdS х^(3>"«10-¹³ см³/эрг приЛ_о~0,7мкм и п-~-2. При этом р7/ио«1 см/ГВт, т. е. уровень ограничения при /=1 см для /=$-coF имеет порядок 1 ГВт/см². Заметим, что при таких ннтенсивно-стях может измениться структура ве­щества, произойти фазовый переход, испарение, образоваться плазма. Та­кой оптический пробой в прозрачных газах или конденсированных веще­ствах может начинаться с многофо­тонного поглощения и ионизации.

Для ионизации атома инертного газа необходимо поглощение порядка 10 фотонов неодимового лазера (Йш —1 эВ). Число таких переходов на единицы объема и времени согласно (3) равно

N = dF/dz - (8л/с)¹⁰ х^ач,"/¹⁰/2& ~ [EjE_ALy\ (6.4,6)

где Еш-'кюМо. Несмотря на малость этой величины, эффект удается наблюдать при фокусировке излучения лазеров с модуляцией доброт­ности [40]. Заметим, что высокая степень поля в (6) подчеркивает влия­ние флуктуации его интенсивности. Так, согласно (7.2.11) излучение с гауссовой статистикой в (/^1О}/(/}¹⁰ = 10'—3-10⁶ раз эффективнее нефлуктуирующего излучения при равных (/).

Как показал Келдыш {см, [20], § 29), при очень больших полях Е_г (или малых частотах ю, когда нарушается условие d₀Ei<^tu) резкая степенная зависимость (6) от Ез. замедляется за счет множителя ехр(—KwdduE^, характерного для эффекта туннельной ионизации. в постоянном поле.

Нарушение степенной зависимости вида (6) наблюдается также при диссоциации многоатомных молекул в поле ИК-лазеров при однофо-тонном резонансе ш^й^ с одной из колебательных частот молекулы. Б случае СО,-лазера (Х~10 мкм, Аь>~-0,\ эВ) для диссоциации необ­ходимо несколько десятков фотонов. Однако в экспериментах с корот­кими импульсами, когда не успевает проявиться столкновнтельная ре­лаксация, наблюдается слабая зависимость от Е_г. Этот эффект связан, по-видимому, с быстрой передачей поглощаемой энергии большому числу других типов колебаний («внутримолекулярная релаксация»). Эффекты такого типа изучаются новым направлением квантовой элект­роники — ИК-фотохимией, они используются для лазерного разде­ления изотопов.

В фотохромных веществах [44] эффект ограничения (или затемне­ния) наблюдается при много меньших интенсивностях — даже в сол­нечном свете, где /~0,1 Вт/см² — за счет сильного, но инерционного «фотохимического» ангармонизма.

Наиболее низким порогом нелинейности обладает фотографический процесс, где для фотохимической реакции (т. е. возникновения цент­ров почернения — крупинок металлического серебра в микрокри­сталле AgBr) достаточно иногда плотности энергии («экспозиции») /г~Ю^_в Дж/см^а. Примечательно, что для образования одного центра необходимо несколько фотонов (т>1), т. е. это процесс с высокой сте­пенью нелинейности. При малых экспозициях степень почернения негатива D после проявления пропорциональна числу центров, поэто­му 0=ц1^т, где т| — чувствительность пленки (мы пренебрегаем ста­тистическим разбросом т). Относительное уменьшение интенсивности зондирующего света при проходе через негатив с малой толщиной / равно

Д///= ~D= —а^1т+Ч, (6.4.7)

где а^|яг+п£зг_!/^л'/г.

Различные виды фотохимической нелинейности используют в голо­графии и, вообще, для записи информации. Более «быстрые» оптические нелинейности служат основой динамической голографии и эффекта обращения волнового фронта (§ 6.5), где запись и восстановление про­исходят одновременно.

Итак, даже прозрачное в обычном смысле вещество при достаточно большой интенсивности света становится поглощающим или отражаю­щим. Изучение таких явлений имеет очень большое прикладное зна­чение в связи с проблемой лазерной термоядерной реакции.

Насыщение однофотонного резонанса (§ 4.3), наоборот, приводит к эффекту просветления (в отсутствие инверсии населенностей). При этом флуктуации интенсивности подчеркиваются, что используется для синхронизации мод в пикосекундных лазерах. Согласно двухуровне­вой модели коэффициент поглощения а (г⁷) (или при а<0 — усиления)

_при большой интенсивности F имеет вид a₀/(\+F/F_K), где параметр f определяется временами релаксации 7\, T_s и моментом перехода d"_b (4.3.16). Отсюда вместо (4) находим нелинейное уравнение переноса для плоской волны при насыщении (т. е. при однофотонном резонансе)

^dF ' ^a°^F =0. (6.4.8)

8,5

О

dz ' 1 + F/F*

Заметим, что здесь в отличие от (4) учитывается вклад бесконечного числа восприимчивостей нечетного порядка. Решение(8)легко находится в неявном виде:

-a_az=ln(F/F₀) + (/W₀)/f_H, (6.4 9)

где F^F{z), F„ = F(Q). Два слагаемых в правой части (9) соответствуют экс­поненциальной и линейной связи Риг (рис. 6.7). При сильном насыщении экс­поненциальный закон Бугера переходит в линейный:

Fo, (6.4.10)

и в пределе при F_a^>F„ вещество полно­стью просветляется (ср. с описанным в §5.1 нестационарным эффектом СИП).

Бездоплеровская спектроскопия. Эф­фекты индуцированного поглощения при двухфотонном переходе и индуцирован­ного просветления при насыщении одно-фотонного перехода лежат в основе двух

оригинальных спектроскопических методов, позволяющих преодолеть влияние доплеровского уширения резонансов, которое маскирует тонкие детали спектров.

Схема двухфотонного бездоплеровского спектроскопа представле­на на рис. 6.8. Исследуемый газ помещается в поле стоячей волны с ча­стотой со, перестраиваемой в области половинной частоты перехода Шв/2. Линейный эффект Доплера в случае бегущей волны дает сдвиг частоты <»'—&>=—к- V, где <о — частота поля в лабораторной системе координат, at' — то же в системе молекулы, движущейся со скоро­стью v, к — волновой вектор поля. В стоячей волне половина фотонов Имеют волновой вектор к и половина —к, поэтому доплеровские сдвиги для них различаются знаками. В результате, если при двухфотонном переходе один фотон поглощается из «прямой» волны, а второй — из «встречной», сдвиги полностью компенсируются, так что наблюдае­мый резонанс будет иметь на широком доплеровском пьедестале ост­рый пик с естественной или столкновительной шириной.

Заметим, что резонанс удобнее регистрировать косвенно — по одно-фотонной люминесценции, сопровождающей переход молекулы с воз­бужденного уровня на третий уровень. Недостатком двухфотонной спектроскопии является необходимость использования сильного поля (из-за малой вероятности переходов), что приводит к заметному сдвигу резонанса из-за оптического эффекта Штарка (см. (5.2.32)).

,1

Метод бездоплеровской спектроскопии насыщения [381 также ис­пользует встречные волны с одной частотой (рис. 6.9). Прямая волна имеет большую интенсивность и вызывает сильное насыщение тех молекул, которые имеют подходящую проекцию скорости на направ­ление распространения волны у_г=(со—о>₀)/&. Встречная зондирующая

Рис 6.9. Бездоплеровская спектроскопия насыщения; а) схема спектроскопа насы­щения; 6) зависимость наблюдаемого сигнала от частоты лазера

волна при ыф(и_а взаимодействует с другой группой молекул — имею­щих обратный знак v₂— и поэтому сильно поглощается. Однако при л]=<в₀ имеем к_г=0, и резонанс для зондирующей волны просветляется за счет эффекта насыщения от прямой волны. Следовательно, показа­ния детектора, регистрирующего мощность зондирующей волны, про­шедшей через образец, возрастают при йдаю₀. Ширина резонанса бу­дет определяться естественным, столкновительным или полевым (см. (4.3.21)) уширением.

Подробнее о нелинейной спектроскопии см. [38, 39, 45, 64, 69, 701. Упомянем другие методы бездоплеровской спектроскопии — метод квантовых биений (§ 5.2), метод молекулярных пучков, метод буферного газа. В последнем методе свободный пробег исследуемых молекул огра­ничивается до величины, много меньшей длины волны, добавлением инертного газа. При этом в центре широкой доплеровской линии по­является узкий пик с однородной шириной.

Рамановское усиление. Рассмотрим далее непараметрическое взаи­модействие двух разночастотных мод. Наиболее интересен здесь эф­фект романовского усиления, тесно связанный с неупругим рассеяни­ем света. При макроскопическом описании рассеяние объясняется ре­зонансом кубической восприимчивости х^1з'(^ш^ —o>i, <0i) при оз₁— ^Й^Оо>0. Здесь комбинационная частота Й близка к частоте Й₀= ==(1>_ьо какого-либо возбуждения вещества. Обычно Q_a—одна из соб­ственных частот молекулярных колебаний (в обратных сантиметрах £З_в—' 10³—Ю³) или частота акустической волны (й₀~0—0,1 см~'). В первом случае рассеяние называют комбинационным (или риманов­ским], во втором — манделыипшм'бриллютовским- В лъезокристал-лах наблюдается также рассеяние на поляритонах, Й„^10³ см^-1 (§ 4.2, 6.5). При этом, как и при рассеянии на акустических фононах, %^w и й₉зависят от угла между А, и h_s, т. е. это, по существу, резонансные па­раметрические эффекты, поэтому они подробней будут рассмотрены в §6.5.

Существенно, что мнимая часть кубической восприимчивости около стоксова резонанса отрицательна. В результате происходит перекачка энергии от высокочастотных компонент поля к низкочастотным — спектр поля «краснеет», а вещество нагревается, и разность населен­ностей N_a—N_b перехода с частотой ю_Ьа уменьшается.

Пусть две поляризованные плоские волны с частотами »,,₂>0 падают перпендикулярно на границу прозрачной среды. Из (3) находим уравнения для потоков энергий:

dFjdz + PF.F, = 0, (6.4.11 а)

dFjdz — $Р_гР_а — 0, (6.4.116)

где

^2я*АМ,Х^и,*/«;я;-0й>_[|<ЛГ_в —#*) > 0, (6.4.12) X'³¹" - Im х^ш <«,= <*,-«>» + «О: её&ег=

= — Im x^w К = ш_г-ы₂ + о,): ele&le,. (5.4.13)

Последнее равенство следует из (6.2.56) (см. также (6.2.114), (6.3.43)), оно обеспечивает сохранение общего числа фотонов при ра-мановских двухфотонных переходах:

r\(z)+F₂(z) = C. (6.4.14)

Подставив (14) в (11), находим

(6.4.15) (6.4.16) где F,₀=F^O) и CssFm+Fta. На достаточно больших расстояниях Fi—>-0, F^C, т. е. все фотоны превращаются в стоксовы фотоны (рис. 6.10). Разность энергии при этом идет на возбуждение вещества (это явление используется для генерации ультразвука при вынужден­ном рассеянии Мандельштама—-Бриллюэна). Однако практически, полному преобразованию препятствует ряд не учтенных здесь явле­ний, в частности спонтанно-вынужденные переходы и генерация новых компонент с частотами 2<в!—а₂ и 2<л_а—<л_л, а также волн с теми же частотами и>_д, <о_г, но с другими типами поляризации и т. д.

С, 5

		S

б г

Рис. 6.10. Рамановсхое взаимодействие двух волн при различных начальных ин-тенсивностях- по горизонтали — расстояние г в единицах ]/(JC, по вертикали — интенсивности F, в единицах C=F_V)+F_№, т. е функции Г_г = (1+ае^г)-^г и F₂ = l—Fv где <z=F_solF_la — относительная начальная интенсивность стоксовой волны; а) «= = 1/25, штриховая линия — асимптотика, описывающая экспоненциальное усиление стоксовой волны в приближении заданной накачки; 6} а=Ь5, в) «=1; г) а=^5, антистоксова волна (нижняя кривая) ослабляется примерно экспоненциально

Пусть теперь F_l0^?F_s0, тогда при достаточно малых г можно пре­небречь изменением высокочастотного поля (приближение заданной накачки), при этом из (16) следует эффект экспоненциального риманов­ского усиления:

f₍ = F_Mexp(a,z), (6.4.17)

а_а = рЛ„ = - 32л*со_аХ^/ Жпл > 0.

Практически для сильных рамановских резонансов на молекулярных колебаниях в жидкостях а₂ достигает 1 см^-1 при /30,1 ГВт/см^а. Итак, романовский ангармонизм позволяет получить усиление света без ин­версии населенностей. Эффект рамановского усиления (или — на ан­тистоксовых частотах — поглощения) используется в спектроскопии, а также для сдвига частоты лазеров. При добавлении с помощью зер­кала'обратной связи усилитель превращается в генератор (раман-лазер).

Спонтанное и вынужденное рассеяния. Даже в отсутствие обратной связи и внешнего сигнала на частоте fc>₂ вещество при РщфО некоге­рентно излучает на частотах a>i±Q₀. При а_г/^>1 излучение на сток-совых частотах со₂ (т. е. собственный шум рамаиовского усилителя) достигает уровня, сравнимого с накачкой: F₂~F,. Это явление полу­чило название вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР). При этом возникшее шумовое поле со средней частотой и,—-Й₀ играет роль накачки для второй стоксовой компоненты с частотой a>i—2Й₀, послед­няя возбуждает третью и т. д. Кроме того, за счет параметрических четырехчастотных взаимодействий типа 2о>1—Шз^нвэ^о^+Йо возни­кают интенсивные антистоксовы компоненты, и количественный анализ явления становится затруднительным.

Оценим мощность ВКР в приближении заданной накачки без учета связи с высшими стоксовыми и антистоксовыми компонентами. Сток-сово поле при /^г_ао=0 рождается за счет спонтанных (точнее, спонтан­но-вынужденных) переходов. Согласно закону Кирхгофа (§7.1), ко­торый справедлив и для двухфотонных переходов [37], интенсивность шума с частотой <о₂ на выходе усилителя в фотонах на моду равна

JV = <^T + I)<G— 1), (6.4.18)

где

^{G = ехр К/), JT- - {exp [ *<°у*> ] -1} ~} , (6.4.19)}

Т — температура вещества (предполагается, что переход а—Ъ не на­сыщается).

Чтобы перейти от N к F, надо умножить плотность потока фотонов в одной моде Nc/L³ (L^H — объем квантования) на эффективное число мод усилителя или детектора:

"-ТГ*-^-»^- (« 4-М)

Здесь учитывается один тип поляризации и пренебрегается отличием показателя преломления от единицы, Дю и Дй — эффективные полоса частот и телесный угол усилителя или детектора.

При нитевидной форме рассеивающего объема, когда а<0 и 0,^*1, существенно лишь продольное (■&%{)) или обратное (-9а;180°) рассея­ние в телесный угол ДЙдаЛ//³ (Л=о⁵ и / — сечение и длина области взаимодействия) •). При этом из (20) находим связь между мощностью шумов на единицу полосы 3^s _а=%<йР А! Аа и числом фотонов на моду:

?_№ = %<ап%М12я., (6.4.21)

безразмерное число n_F= AlU называется еолновым параметром или числом Френеля. Подстановка (18) в (21) дает (а=сс₂, (Os=(i>₂)

5^s _и = %am_F {Ж + 1) 1 )/2я.

(6.4.22)

') При вынужденном рассеянии Мандельштама — Брнллюэпа эффективно про­исходит лишь обратное рассеяние, так как О. (0)=0 (см. (6.2.61)).

Чтобы найти полную выходную мощность, это выражение надо про­интегрировать по (о, что сводится к умножению на эффективную поло­су шумов Дсо и замене « на oii—Q₀=o». При слабой накачке Дю опре­деляется шириной рамановского резонанса, т. е. скоростью затухания молекулярных колебаний (обычно Д<в/2лс~1—10 см^-1). При большом усилении Лю сужается в (а*)^1/2 раз (§ 2.3).

Итак, согласно (22) рассеиваемая мощность зависит от интенсив­ности накачки по закону ехр(р/Р_и)— 1. При $IF_1V<^1 экспоненциаль­ная зависимость сменяется линейной, при этом рассеяние называют спонтанным (СКР). Из (22), заменяя А/1* на AQ, находим мощность спонтанного стоксова рассеяния на единицу частоты и телесного угла:

?*_a=(n-c/k*)(Jf+l)$VF_lB,

(6 4.23)

где V=Al — объем рассеивающей области. Нетрудно проверить, что это выражение согласуется с найденным выше сечением спонтанно-вынужденного перехода (6.2.116). СКР в отличие от ВКР имеет слабую направленность, определяемую сверткой %^ш с ортами поляризации (13).

В случае F^>F_U когда роль накачки играет поле с меньшей часто­той, внешнее (антистоксово) поле Fi(z] согласно (11) экспоненциально затухает — на этом явлении основан спектроскопический метод обра­щенного комбинационного рассеяния. Шумовое поле при этом описы­вается (18), (22) или (23) при перестановке индексов 1, 2 и замене oW-f-l-*—Jf, Р-)—Р- Таким образом, спонтанное антистоксово рассея­ние с данной частотой в

Jf/(Jf + 1) = N_b/N, = ехр(-%%1уТ)

раз слабее стоксова при прочих равных условиях. При достаточно сильной накачке мощность антистоксовой компоненты насыщается. Число фотонов на моду при этом стремится согласно (18) к <ЛГ, т. е. антистоксово поле приобретает яркостную температуру

Т^Тщ/а_а^>Т (6.4.24)

Самофокусировка. Этот одночастотный эффект связан с «самовоз­действием» квазиплоской квазимонохроматической волны за счет вещественной части кубической восприимчивости %^WI = Re у}³' х х(ь», —со, и). Основной вклад в у}*' вносит электрострикционный и ориентационный энгармонизм {при этом %^и> > 0). В поглощающей среде добавляются температурный энгармонизм (%^ш < 0) и эффект насыщения.

При учете линейной восприимчивости амплитуда поляризации равна (полагаем %^а)" = %^w" = 0)

Р = (%^м + Х^ш\Е\')Е^х(\Е\^%)Е,

где £ = £-[(/■, t)~~медленно меняющаяся амплитуда (огибающая). В результате показатель преломления зависит от локальной интен­

сивности поля:

(6.4.25)

■*п_Х(\Е\*)У*ъп, + п,\Е\\

ft(r, 0^[1 где n^2n%^iS'/n_a.

Пусть х^<3> > 0. тогда пучок света при входе в среду образует диэлектрический волновод с профилем Дц (rj_) = rt₂1 Е (rjjp, повто­ряющим распределение интенсивности в пучке. Скорость распрост­ранения с/л на оси пучка будет меньше, чем на периферии, так что боковые лучи начнут изгибаться к оси [нелинейная рефракция) и пучок будет сжиматься. При этом An около оси и скорость сжатия станут еще больше, так что пучок в результате «схлопнется» до некоторого минимального размера, опре­деляемого конкурирующими эффектами (рис. 6 11).

(6.4.26)

Таким эффектом является, в частности, дифракция. Ее эффективность характери­зуется углом расходимости -~ i₀/2n_Ba (а—начальный радиус пучка, \ = 2пс/а>), а эффективность нелинейной рефракции— углом полного внутреннего отражения на скачке показателя преломления An:

§_Nl == aiccos ■

полагаем здесь профиль пучка прямо­угольным. Если дифракция будет точно компенсировать рефракцию, то должен установиться волноводный режим распро­странения с постоянным радиусом пучка (самоканализация) Полагая $_АГ = QJ2, можно грубо оценить условие самокана­лизации:

ДЧщщ = Пг]Ё (rain ■

■■п₀Ъ$/8&Ц/32п_оа*.

(6.4.27)

Отсюда следует, что сечение волновода ш^г обратно пропорционально интенсивности света. При этом мощность самоканализирующегося пучка должна быть равна

^₀ = ш₀|£ IJ^VS » сЩ2ЬЫ_г (6.4.28)

Полученная оценка отличается в л²/4 раз от более точного резуль­тата, полученного ниже из нелинейного квазиоптического волнового уравнения (32) в безаберрационном приближении, т. е. при пренебре­жении отклонением формы волнового фронта от сферической:

(6.4.29)

Пусть Х₀=1 мкм, х^,э>=Ю-^1г см³/эрг (сероуглерод) и «„=1,5, тогда согласно (29) 5V~10* Вт. Эта оценка показывает, что самофокусиров­ка может существенно изменить характер протекания других нелиней­ных эффектов {генерации гармоник, ВКР и др.), наблюдаемых обычно при мощной накачке. С самофокусировкой связана также важная проб­лема оптической прочности вещества, определяющей максимальную интенсивность лазерных пучков.

"Длина самофокусировки. Ясно, что при 9ⁱ^>3ⁱ_a пучок будет сжи­маться (самофокусироваться), а при обратном неравенстве — расхо­диться из-за дифракции. Длина самофокусировки должна, очевидно, зависеть от относительного превышения ^У^о-

Чтобы определить вид этой зависимости, рассмотрим решение не­линейного волнового уравнения (6.3.2) для монохроматического поля Re E(r) e~^tat в квазноптическом н безаберрационном приближениях (см. ш, §9.3). В однородной изотропной среде без сторонних источни­ков поле поперечно, так что из (6.3.2) следует нелинейное уравнение Гельмгольца:

YE + k^!(\+(s,J&₀)[E\*)E = 0, (6.4.30)

где k=n_a<o/c, Ha—Vet, е₄^=4лх^и,= 2n_un₃.

Пусть на нелинейную прозрачную среду, занимающую полупро­странство £>0, падает поляризованный пучок света с ограниченным сечением, но с высокой направленностью (узким угловым спектром), тогда поле в среде можно искать в виде

£ (г) = еЕ (г) exp (ikz), (6.4.31)

где [е(²=1, e_t~Q и £ (г)—медленно (по сравнению с ё^кг) меняю­щаяся амплитуда (ММА), описывающая изменение локальной амп­литуды колебаний поля по сечению пучка и вдоль него.

Практически всегда характерные длины г_я, z_NL, на которых Я (г) заметно изменяется вследствие дифракции и нелинейности, много больше X, поэтому можно пренебречь d^Ejdz* по сравнению с 2й дЕ/дг (приближение ММ А). При этом из (30) и (31) получаем нелинейное параболическое уравнение для Е(г):

2ik dEldz + V3.E + (fe%/&.) \Е\^гЕ = 0, (6.4.32)

где V± = dydx²-\-dydy². При е_г=0 (32) является основным уравне­нием квазиоптики, изучающей распространение направленных вол­новых пучков.

Если пренебречь изменением Е по сечению, то из (32) следует Е (г) = Е(0)е'^ш, Mtjk^bnln^Wy^Jlcnl (6.4.33)

—нелинейность лишь меняет фазовую скорость ®j(k -f- Afe) = с/(п₀-\~Ап) плоской волны. Для CS_B при / = 1 ГВт/см^а значение Дп=2-10"^ь.

Пусть теперь падающая волна на границе имеет гауссов про­филь и плоский волновой фронт: Е(х, у, 0)=£_оехр{—pYaj) (р^аэзх³+гД о^—начальный радиус луча). Попробуем подобрать решение (32) в виде гауссова луча с переменным радиусом я(г) = saj(?) и параболическим волновым фронтом с переменной кри-

зной на оси Р(з):

Е (г) = Е₀ ехр [F(z) р" + (ф (z)]rf(г), Р(2)^1Щг)!2—\1аЦ*{х).

(6.4.34) (6.4.35)

Здесь ф (г) — дополнительный к кг набег фазы на оси, а предэкспокек-циальный множитель I// обеспечивает независимость от z мощности волны:

^{P — (cnJ8n) J dxdy\E\* = (cn}_e^{nb)E*al (6.4.36)}

При малых р волна (34) имеет примерно сферический волновой фронт с радиусом 1/6 (г). Ниже будет показано, что кривизна фронта и шири­на пучка в сечении z связаны условием (40). Из (34) находим

^£|2=f-exp(

дЕ/дг = (р«Г + йр' — fit)Е, V_xE = 4F(l + p*F)Е, (6.4.37) dp) /^а V

В последнем равенстве мы перешли от гауссова профиля к параболи­ческому, что допустимо для прносевых областей пучка (безаберрацион­ное приближение). Подстановка (37) в (32) позволяет найти функции /, р, ф. Так, приравнивая нулю сумму коэффициентов при р^г, находим

2ikF' + 4F"—k^z%_L}ⁱ - 0, (6.4.38)

где

z%_L = п₆аЦ4Ап₀

(6.4.39)

и Дп₉—приращение показателя преломления в точке г—0. Из мни­мой части (38) следует

p = tf(in/Vdz, (6.4.40)

а из вещественной —

Г=Ш5?^Я. (6.4.4/)

(6.4.42)

Здесь введены обозначения:

z\ _ (_2д-^а-z-_Niy^ = z\t{\- W_a) = г\и(?_л1? — \), z_R = kaV% z\lz\,_L = W₀ = (Ало/л.) (Ю²-

Параметр г_а определяет длину чсхлопыванит пучка, а параметр z_a имеет смысл «дифракционной» длины; здесь 5% и 5* определены формулами (29) и (36).

Отсюда окончательно находим законы изменения ширины и ра­диуса кривизны R (г) параболического пучка за счет его самовоз­действия:

Z?(z)«=l/P = z(l+?-')

(6.4.43) (6.4.44)

где z = zjz„. Функцию (р(г) можно найти из коэффициентов нуле­вого порядка по р, возникающих при подстановке (37) в (32). Амплитуда поля в пучке имеет вид

Е{Г):

(14-*

ехр _

. 4-г^а) 2г(1-

1"ф(г)

. (6.4.45)

Найденное решение при ^^^„(т. е. при г₀жг_д) описывает так называемую ТЕМ_м-волну—простейшее решение линейного пара­болического уравнения:

(6,4.46)

метры сужается,

(заметим, что 1 -f- iz = (\ + г^а)^1/Еехр (('arctg г), т. е. здесь ф (г) = =— arctg (г/г_д)). При этом дифракционная длина г_д определяет расстояние, на котором сечение пучка удваивается и радиус фронта достигает минимального значения 2г_д = ййс = & (эта величина назы­вается конфокальным параметром пучка). При 3* —*- 5*_D роль г_д играет г₀—дифракция замедляется. Наконец, при 5¹ > 5*,, пара-^,в и соответственно г¹ становятся отрицательными, пучок и его ширина и радиус фронта в сечении z = |?„| обра­щаются в нуль, причем при 5*^>

■ 2_т(рж. 6.12). Конеч-

но, квазиоптическое безаберраци­онное приближение правильно опи­сывает лишь начальную стадию процесса самофокусировки, однако ее характерная длина должна быть близка к [ г_а \ по порядку величины.

о

3*

Рис. 6.12. Зависимость параметра г_й (в единицах Аво/2) от мощности пучка (в единицах критической мощ­ности _^?с), описываемая функцией 13 —^?Г^1/а'При^<(го имеет смысл длины дифракции пучка, а при fj>>\— ДЛины_его ссхлогтыванин». Последняя прн,£р^>1 примерно равна «келиней-нойэ длине zn_l (штриховая линия)

В области фокуса существен­ную роль могуг играть высшие не­линейности %"\... и многочастот­ные нелинейные эффекты, например вынужденные рассеяния. Заметим, что в случае импульсных полей по­ложение фокуса \z_a(t)\ зависит от времени: номере нарастания интен­сивности фокус передвигается из бесконечности до некоторого мини­мального расстояния и затем снова уходит на бесконечность (движу­щийся фокус).

Пусть теперь на нелинейную сре­ду падает волна с плоским волно­вым фронтом и изрезанным профилем ]Е(х, у, 0)|^а=/(х, у) (волна с по­перечной амплитудной модуляцией). В процессе распространения диф­ракция стремится загладить неоднородности профиля, а нелинейная рефракция, наоборот, их подчеркивает (самомодуляция). Качественно эти явления описываются (43), если под я (г) понимать ширину неодно­родности. В результате волна может разбиться на множество волно-водных нитей, каждая из которых несет мощность 5V Такой распад является примером динамической поперечной неустойчивости волн в не­линейной среде и аналогичен образованию солитонов при продольной неустойчивости (см. ниже).

Ясно, что если у_^ы<С.О, то должна иметь место самодефокусировка (рис. 6.И). Она описывается приведенной выше теорией при отрица­тельных параметрах и z\_L. Этот эффект легко наблюдается в поле непрерывных лазеров при добавлении в прозрачные растворители по­глощающей краски.

В двухчастотных (и^или двуволновых) экспериментах наблюдается взаимная фокусировка или дефокусировка за счет Re ^'(^a — tOs—

— интенсивный луч света с частотой а± превращает плоскопарал­лельную пластину в собирающую или рассеивающую линзу для волны ш₂. Эта же частотная компонента кубической восприимчивости описы­вает индуцированную дисперсию и оптический эффект Керра — плос­кая накачка с частотой co_t превращает изотропную среду в двупрелом-ляющую для второй волны с частотой щ. Оптический эффект Керра и лазеры с синхронизацией мод позволяют осуществить оптические затворы со скоростью переключения порядка 1 пс.

Рассмотрим теперь плоскую квазимонохроматическую волну с оги­бающей E{t), промодулированной во времени. В линейной среде в пер­вом приближении теории дисперсии £(£) распространяется без изме­нения с групповой скоростью «"=v<u(fe), а при учете второго прибли­жения (ePa/dk^O) выбросы интенсивности расплываются (этот эффект аналогичен дифракционному сглаживанию поперечных неодно-родностей). В нелинейной среде самодействие может приводить к об­ратному эффекту и при y}'ⁱⁱd^tbi!dk^t<S) импульсы с достаточной энерги­ей сжимаются (самосжатие или самокомпрессия — см. [21, §9.5). Квазимонохроматическая волна с небольшой начальной модуляцией в результате самомодуляции разбивается на отдельные импульсы с определенными энергией и формой — солитоны ^г) (аналоги волновод-ных нитей при самофокусировке). Практически такие эффекты наблю­даются в пикосекундном диапазоне, так что инерционные механизмы нелинейности (например, температурный) не успевают проявиться.