§ 6.3. Макроскопическая нелинейная оптика

Итак, с помощью классических или квантовых микромоделей мы нашли поляризацию вещества Р в заданном поле Е, т. е. исключили переменные вещества. Подставив D=E-\-4nP в макроскопические уравнения Максвелла, мы получим замкнутую систему уравнений для Е, И, описывающую излучение и распространение электромагнитного поля в веществе с учетом его нелинейности. Наблюдаемые в оптическом диапазоне проявления нелинейности чрезвычайно разнообразны и за­висят от особенностей как вещества, так и исходного поля — его ам­плитуды, пространственного и временного спектра. Определяющим параметром является, конечно, отношение E/E_jVL, которое, как пра­вило, много меньше единицы.

Исходные соотношения. Ниже будут рассмотрены основные типы стационарных эффектов. При этом поле можно представить в виде суммы независимых спектральных компонент:

Е{г, /) = (1/2)2^И^Р(-Ч₁0. (6.3.1)

II

Е__п = Е"„ я=±1, ±2, ...

Амплитуды монохроматических волн F„ (г) удовлетворяют сис­теме волновых уравнений Гельмгольца, связанных друг с другом за счет ангармонизма среды, которую полагаем немагнитной:

с¹ V X V X -<й*8_в ■ е_а = 4лсойРЙ ^ь (г). (6.3.2)

Эти уравнения легко получить из уравнений Максвелла (4.1.9). Здесь линейная часть поляризации включена в е_я. Амплитуда не­линейной поляризации с частотой—«и_и, которая служит источником макрополя Е" определяется через нелинейную восприимчивость {§ 6.1):

P-'₁C)=lx^ta-"K; <Ч о_Яя):£_ЯаИ ... £_Ял(г), (6.3.3)

где

2 <*>„. = 0. (6.3.4)

Для описания некогерентных (шумовых) полей — например, тепло- вого или комбинационного (рамановского) излучения — в правую часть (2) следует добавить ланжевеновы случайные источники. Их спектральная плотность, согласно флуктуационно-диссипативной тео- реме (ФДТ), пропорциональна соответственно %^п'" или (см. (6.2.58)). Другой метод расчета шумового излучения нелинейной среды использует формулы типа Кирхгофа, сразу выражающие интенсив- ность шумов через температуру среды н решения динамических урав- нений (1) (см., например, (6.4.18), (6.5.51), (7.1.6)).

Классификация нелинейных эффектов. Из уравнений Максвелла следует (см. (4.1.10)), что средняя за период удельная мощность, по­глощаемая веществом из поля в точке г за счет ангармонизма,

5V_t(r) = (//4)2««e_B.P_„= (t/4) 2 2»_л,1Г-^и : E„_r..En_a. (6.3.5)

Каждое слагаемое 5^ми1 (г) в последней сумме описывает т-частогп-ное взаимодействие. Если представшь амплитуды поля в виде

Е„ (г) = 2*а | Е_па (г) | ехр (г)], (6.3.6)

а

где а = х, у, г, то будет по величине и знаку зависеть от

(pim) (_Г) = (р_и^ _)_.,, _t_ <р„_№2гл, г. е. от соотношения между фазами спектральных компонент поля. Такие взаимодействия называют пара­метрическими. Из (5) ясно, что параметрическое взаимодействие т гармоник дает накапливающийся в пространстве эффект лишь при <fj^,wl (г) = const, что возможно только для совокупности плоских волн, когда ф„_а (г) = ft,,г, А_„==— k_n. При этом волновые векторы взаимо­действующих волн должны образовывать замкнутый многоугольник:

(6.3.7)

Это условие, при учете (4), называют условием пространственное® синхронизма или согласования фазовых Скоростей.

Часто в сумме (5) эффективно лишь одно слагаемое низшего порядка (т=3 или 4, т. е. трех- или четырехчастотное взаимо­действие) с определенной комбинацией знаков частот s_a. Этой ком­бинации можно поставить в соответствие элементарный многофотон­ный процесс с участием т фотонов, тогда (4) и (7) можно тракто­вать как законы сохранения энергии 2 й«_п и импульса поля 2 n-k,_r При параметрическом процессе энергия вещества не меняется, т. е. исходный £'_а и конечный £'_ь уровни совпадают, ш_Ьа= 0 (рис. 6.1, а).

Можно выделить далее резонансные параметрические процессы, для которых один или более виртуальных уровней совпадают с реальными. При этом одновременно становятся существенными непараметриче­ские эффекты (см. ниже) -— появляется линейное (или многофотонное) поглощение (или усиление), афО и энергия поля не сохраняется. Од­нако при условии малости поглощения требование синхронизма (7) остается. Заметим, что при, например, т=4 возможны одно-, двух- и трехкратные резонансы. Эффективность резонансных взаимодействий сильно зависит от частот (о_п (даже без учета условия синхронизма), вос­приимчивости здесь принимают комплексные значения.

Вне промежуточных резонансов аяаО, восприимчивости веществен­ны и их дисперсия мала, поэтому эффективность нерезонансных пара­метрических процессов зависит от частот лишь косвенно — из-за усло­вия синхронизма, которое при фиксированных направлениях k_n вы­полняется только для определенного набора частот, а при фиксиро­ванных частотах — для некоторого множества направлений. Таким образом, эффективность параметрических взаимодействий испытывает совместную частотно-угловую дисперсию.

Вернемся к сумме (5). В ней среди слагаемых четного порядка т имеются вырожденные — с парными комбинациями индексов вида ге₍=—Пу, для которых ф^1т'=0. Соответствующие взаимодействия, за-висящие лишь от интенсивтстей гармоник ноля |£„|², называют не­параметрическими. Для них условие синхронизма выполняется авто­матически. Мощность, поглощаемая на частоте <л_у, за счет непарамет­рического взаимодействия /-частотного поля согласно (5) равна

5\C") = a/2KIm-^-" ...-с*,, «ЛтВД.-.ВД. (6.3.8)

Она сохраняет знак для данного набора частот и медленно (по сравне­нию с е'^{ь г}) меняется в пространстве при любой конфигурации поля, так как фазы гармоник не влияют на (8).

¹) Заметим, однако, что индуцированной дисперсии, сопровождающей многофо-тошюе поглощение (как и Линейной дисперсии), соответствует виртуальный процесс с с%д=0.

При непараметрических элементарных процессах, например при двухфотонном поглощении или рамановском переходе, конечная энер­гия вещества отлична от начальной (рис. 6.1), и поэтому энергия поля не сохраняется ¹). При этом кроме тривиального здесь условия (4) имеет место резонанс при ^

S4, = «*W (6-3.9)

п= 1

При наличии дополнительных промежуточных резонансов непара­метрический процесс называется каскадным или резонансным. Такие процессы характеризуются сложной дисперсионной зависимостью от частот поля о)„ по отдельности. Примеры: резонансное комбинацион­ное рассеяние и каскадное двухфотонное поглощение в трехуровневой системе (рис. 6.1, д).

В случае нерезонансных (некаскадных) процессов а^ш=0 и эффек­тивность непараметрического взаимодействия зависит согласно (9) в основном лишь от суммы всех частот поля ^ffl_n (этот случай можно назвать однорезонансным).

Заметим, что при непараметрических процессах новые спектраль­ные компоненты возникают лишь за счет спонтанных или спонтанно-вынужденных переходов и излучение при отсутствии обратной связи имеет шумовой, некогерентный характер (даже при когерентной накач­ке с определенной фазой). Пример — неупругое рассеяние света. В то же время при параметрических процессах возможна генерация коге­рентных полей с новыми частотами (генерация гармоник).

Эффекты нелинейной оптики можно дополнительно классифициро­вать по числу существенных спектральных компонент или по числу плоских волн (мод). Например, к одночастотным непараметрическим (вырожденным) эффектам относятся нелинейное поглощение и дисперсия {1а>1 = а}_Ьа) и эффект насыщения (а_±—и_г+- - ■ ~г»i =a_bJ• Примерами двухчастотных непараметрнческих эффектов являются индуцированное поглощение и дисперсия (<ii_l-\-i<i_i = (jy_lia) и романовское взаимодействие (&1—и>₂—<о_ь„), приводящее к вынужденному комбинационному рас­сеянию (ВКР) и обращенному эффекту Романа (индуцированному по­глощению на антистоксовой частоте).

Генерация второй гармоники является вырожденным случаем трех-частотного параметрического взаимодействия (wizhoJiico^O). К че-тырехчастотным параметрическим эффектам относятся генерация третьей гармоники и когерентное антистоксово рассеяние света (КАРС), лежащее в основе активной спектроскопии. КАРС описывается резо­нансной частью кубической восприимчивости х"*(^<04 ^{= (}°з—e^+^i) при »i—u>,=G)j-—w₃mm_bt,. Примером параметрического одночастот-ного четырех волнового взаимодействия является эффект обращения волнового фронта за счет %^и'(ъ>=ы—ю+to) при k,=—fc_lt ft,=—ft₃.

Подробнее все эти эффекты будут рассмотрены ниже. Иногда одно­временно проявляются несколько эффектов, например ВКР может сопровождаться самофокусировкой к КАРС, но часто подбор условий эксперимента позволяет выделить отдельный эффект. При анализе мы для простоты будем считать эти условия выполненным и.

Удобно различать эффекты и по другим парным признакам: спон­танный—вынужденный, стационарный.— нестационарный (гл. 5).

Следует отметить, что термины «спонтанный» и «вынужденный», определены в квантовой электронике нечетко. В линейной оптике спонтанное и вынужденное излучения относит к нестационарному про­цессу с участием одной молекулы, а суммарное стационарное излуче­ние нагретого вещества называют тепловым излучением. В то же время под спонтанным рассеянием понимают рассеяние на тепловых (или — при fiQinT^-l — на квантовых) флуктуациях различных параметров вещества (§ 6.2) при малой интенсивности накачки Л, хотя объясня­ется этот процесс спонтанно-вынужденными дв\ хфотонными перехо­дами (§ 6.2). При увеличении I, интенсивность рассеянного света растет Сперва линейно, а затем — при |а^1И |£>1 —экспоненциально (для стоксовой компоненты). В результате эффективность преобразования частоты может достигать десятков процентов и термин В КР обычно применяют к этому усиленному спонтанному излучению. Этот же тер­мин используется иногда при эффекте усиления внешнего стоксова поля.

Еще большую многозначность имеет термин когерентный (даже если ограничиться только нелинейной оптикой), С одной стороны, им обо­значают эффекты нестационарного резонансного взаимодействия типа ■СИП (§5.1), а с другой — параметрические стационарные эффекты типа генерации второй гармоники. В первом случае имеется в виду син-■фазкость поля и вещества, а во втором — различных компонент поля.

Роль линейной и нелинейной дисперсий. Нелинейность волновых уравнений гидродинамики и газовой динамики проявляется наиболее ярко в виде ударных волн, в превращении синусоидальной акустиче­ской волны в пилообразную (наглядный образ —■ опрокидывание гребней морских волн на мелководье). На спектральном языке этот эффект объясняется генерацией высших гармоник, обогащением спект­ра исходного возмущения по мере его распространения.

Однако световые ударные волны не возникают из-за дисперсии по­казателя преломления п(а>); гармоники с частотами со_ь 2oi, . . . распространяются с различными фазовыми скоростями cln(p&i), так что знак энергии взаимодействия и соответственно амплитуды гармо­ник быстро осциллируют в пространстве (см. (5)). В результате ампли­туды высших гармоник не нарастают по мере распространения («не-цакапливающееся взаимодействие») и в теории возникает еще один малый параметр — отношение длины когерентности !_Ktlc=n/Ak к дли­не вещества I. Здесь Ak — волновая расстройка (7), равная при кол-лннеарной генерации р-ii гармоники k_p—pki^nfp&^—nia^ipa^C-

Лишь в специальных условиях удается синхронизовать фазовые скорости двух-трех гармоник (с помощью двупреломления или ано­мальной дисперсии). Итак, условие фазового синхронизма (7) ограничи­вает число эффективно взаимодействующих спектральных компонент поля при параметрических взаимодействиях. Для непараметрических процессов эту ограничивающую роль играет условие резонанса (9), т. е. дисперсия х'³', у}^ъ), ■ ■ ■

Для повышения эффективности нелинейных процессов обычно ис­пользуется импульсная нагачка лазерами с модуляцией добротности (т-~10 не) или с синхронизацией мод (т~10 пс). Ясно, что для накапли­вающегося в пространстве взаимодействия нескольких световых им­пульсов с различными центральными частотами необходимо также ра­венство их групповых скоростей

и_р = li&lutip = с(п_р~\- сйр ап_р/&й)-*

(условие группового синхронизма), иначе импульсы будут разбегаться-по мере распространения.

"Одномерное приближение. Далее мы, как правило, будем исполь­зовать наиболее полезное приближение нелинейной (как, впрочем, и линейной) оптики — одномерное (или, иначе, приближение плоских волн), которое позволяет перейти от уравнений в частных производ­ных (2) к обыкновенным уравнениям. Оно правильно отражает основ­ные закономерности многих явлений в случае слабо сходящейся или расходящейся накачки и образцов с достаточно малой длиной /. Часто* расходимость удается учесть — хотя бы качественно — в конечных формулах путем суммирования вклада всех существенных плоских волн. Мы откажемся от одномерного приближения лишь при описания самофокусировки в конце § 6.4.

Произвольное поле можно представить в виде четырехмерного ин­теграла Фурье:

E{r, t) = {Li2ny\c?kdaE{k, м)ехр[((*-г —о/)] (6-3.10)

и аналогично для Н- Множитель (£-/2я)^! добавлен из соображений размерности (см. (7.3.7)). Эю так называемое к, ^-представление. Здесь ft и (о — независимые вещественные переменные. В случае одно­родной прозрачной линейной среды без внутренних источников к и со перестают бьнь независимыми (§ 4.2). При этом

E{k, ы) = (1/2) Z 2 e_v(6)E?(sk)d(a — яМ*)), (6.3.П) £«_v⁺4ft)=A"'(*r , (6.3.12)

Полагаем среду негирогропной, поэтому г недействительны. Под­ставив (И) в (10), находим

^Е<^Г- 0 = т(4)' I^тX^е*<*>^£<"(*>^ехР И,(*)]. (6.3.13)

где

ty_s(k)^s[kr — u_v(fe)<], s=±, v=l, 2.

Например, в случае плоской монохроматической поляризованной волны

Единичные векторы поляризации e_v (ft) и закон дисперсии ь\ (k) определяются тензором е(<о):

с**х [Ах Pvl + «>v8 K)-*\ = О- (6.3.14)

Отсюда в случае вещественного г

щ (— А) = щ (А), е_Л (А) = е_у (— А) = e'_v (ft).

Задание волнового вектора ft и типа поляризации v определяет плоскую монохроматическую волну или моду. Удобно множество мод сделать счетным с помощью куба периодичности I⁴ (§ 7.3), пр_и этом интеграл Фурье переходит в ряд, в котором мода задается одним индексом £=={ft, v, s) (он включает в себя также индекс знака частоты s):

Е(г, 0=(1/2)2е*Е»ехр(й|ь), E_k^E?{k). (6.3.15)

к

Амплитуды мод E_k в прозрачной линейной среде без источников являются независимыми комплексными числами, определяемыми гра­ничными условиями.

Пусть теперь в среде имеется нелинейный поглощающий плоский слой (0<Сг<С/) с той же вещественной частью е', на который падает слева и справа стационарное поле. При этом числа Е_к становятся функ­циями от г (ввиду однородности модели по х, у, t), которые называют медленно меняющимися амплитудами (ММА). Фактически переход от реального поля E{r, t) к зависящим от z амплитудам мод E_k(z) яв­ляется трехмерным преобразованием Фурье по переменным х, у, t (т. е. в отличие от (10) неполным преобразованием) или переходом к <а, к , г-представлению.

Заметим, что для определения моды вместо к можно задать частоту (о = о\(/;), ftj_ и знак о_ь продольной компоненты к_г, при этом к_г определяется законом дисперсии (для изотропной среды k_z = G_k (e'<o³/c^?—■fcj_)¹''^B)- Экспериментально разложение по модам осуществляется помещением спектроскопа в дальнюю зону излу­чателя, при этом задаются ь> и сферические углы $_к, ф_й вектора k (с поправкой на преломление). Таким образом, индекс к заменяет одну из следующих совокупностей величин:

fe={fe, v, s} = {cd, ftj_, о, v, s) = ((o, Ь, tp, v, s|. (6.3.16)

Как будет показано ниже, фур ье-преобразование уравнений Гельм-гольиа (2) по х, у в случае достаточно малых неликейноан и погло­щения приводит к следующей системе обыкновенных уравнений для ММА (при о_к > 0):

(|-_т-^)£,(г) = ^РГ(,)ехр(-ад. (6.3.17)

Здесь введены следующие обозначения:

а* = с%е„-е" е_к(сп^ п_ь = п_к cos8_hcosр„ да ckja_h, (6.3.18)

тде 9_Й —угол между лучевым вектором моды 5_ft и осью г, р_к—угол анизотропии, т. е. угол между к и лучевым вектором (вектором Пойнтинга), Pk^L—фурье-компонента нелинейной поляризации с часто­той CD_ft > 0 и поперечным волновым вектором к±^{к^ k^}, парад-ню лельная вектору е_н:

= (2 ] u_kl\jL*) ]dxdydt e_k-p*^l (г, 0 ехр [i (^t-^x-k^)], (6.3.19) Q^{k_K, k_v), г — [х, у, z), — (6.3.20)

Согласно (17) линейное поглощение дает экспоненциальную зави­симость амплитуды моды от z, а нелинейность приводит к взаимной связи (перемешиванию) мод. Подчеркнем, что мода k в одномерной модели возбуждается лишь компонентой источника с теми же частотой и поперечным волновым вектором. При этом зависимость от г может быть любой, но сильнее всего действует компонента источника с по­стоянной распространения К_г, близкой к k,— условие синхронизма или согласования фазовых скоростей (ср. (4.1.20)).

Граничными условиями для системы (17) являются амплитуды £„(z₀) падающих слева и справа плоских волн: г»=0 для и=4- и 2_S—/ для а=—. Решение (17) дает закон преобразования мод нелинейным слоем, т. е. матрицу рассеяния слоя. Конечно, для описания реальных экспериментов надо добавить отражение и преломление волн на гра­нице (с учетом нелинейности — см. 1341), а также учесть ограничен­ность сечения взаимодействия по х, у. При этом уже в линейном при­ближении появляется «дифракционная» связь между близкими по на­правлению модами. Этот эффект удобнее описывать в &>, г-представле-нии (2) (см. в § 6.4 раздел, посвященный самофокусировке).

Найдем с помощью (17) скорость изменения продольной компонен­ты потока энергии, переносимой модой k и выраженной в единицах

F_hs е= ]^ wb\f1m_k — с [Е_к х HI] ■ гЛ6яАю_А + к. с. =

=ст,|£,(2)|^а/8л^, ₍6.3 21)

где г — единичный вектор вдоль оси г. Для этого умножим (17) на E'_k и сложим с комплексно сопряженным выражением;

(d/dz+aj F_ht=— Im P£^LEi ехр (- ik_xz)/2h.

(6 3.22)

Правая часть здесь имеет согласно (5) простой смысл — это энергия в единицах Ьщ, поглощаемая в единицу времени единицей объема вещества за счет нелинейной поляризации, т. е. это скорость умень­шения плотности фотонов — N_k в моде k. Иначе говоря, (22) яв­ляется уравнением переноса (или уравнением непрерывности) для фотонов макрополя:

\F_h+N_k = b, F„ = u_kN_k. (6.3.23)

Нелинейная поляризация P$^L в правой части (17) или (22) опре­делена формулами (3) и (19) с помощью иерархии восприимчивое!ей 1^Ы>, т^2. В случае т-частотного взаимодействия уравнение (17)

й Д н, Клышко 161

принимает вид

(d/dz + a_k/2)E; = (2ns₁(f>_i/icn₁)%ⁱ'^a-¹'-e₁E_t. . . Е_т ехр (i&fcz), (6.3.24) где

т

i = i <

причем интегрирование по х, у, t в (19) дает следующие ограни­чения на взаимодействующие моды и знаковые индексы;

	2 Sfblx=o, i = I
Д»==	m 2 st<»i = °- i = 1

(6.3.26) (6.3.27)

Кроме того, накапливание взаимодействия вдоль г происходит лишь при достаточно малых продольных волновых расстройках:

i-]

(6.3.28)

Перенормируем амплитуды мод так, чтобы их квадраты равня­лись продольной плотности потока фотонов (полагаем для простоты обозначений F_L^F_k,₃ > 0):

a_t*a{cn_t$rikia_tyi*E_tt ' (6.3.29)

\a_t\* = F_l. (6.3.30)

В результате (22) и (24) принимают вид

Ш ^{+ Ш}£)^а* ⁼ -±р_1ш,._яа, ... a„exp(iMz),

(6.3.31) (6.3.32)

где

Л....--£(*П^)^Л*--»1.,...е, (6.3.33)

Анализ этих уравнений для ряда характерных случаев будет про­веден в § 6.4, 6.5.

Соотношение Мэнли — Роу и перестановочная симметрия. Пусть существенно какое-либо одно взаимодействие между m-частотными ком- понентами поля с индексами п_т (см. (5)), которому соответ- ствует /-фотонный процесс (1=т при параметрическом взаимодействии и 1=т/2 при непараметрическом). Пусть это взаимодействие — не- резонансное для какой-либо пары частот а₂, точнее пусть фотоны с этими частотами рождаются или уничтожаются только вместе, одно- временно (соответствующий виртуальный уровень далек от реального);

тогда где

s₁N₁ = s_tfi_t, s„ = sign = sign (ш_я).

(6.3.34) (6.3.35)

Эти связи аналогичны известным в теории колебаний соотноше­ниям Мэнли —Роу для нелинейных цепей [1]. Знаки частот опре­деляются законом сохранения энергии (4) или (9), !V_n—скорость изменения плотности фотонов с частотой J со„ |. Очевидно, что u|<£>_n|<V„ + 5\, = 0, где 5*„ = <»_п ЫЕ^г_пР_к/2—поглощаемая веществом мощность на частоте ы„.

Из (5) и (34) в случае параметрического взаимодействия следует

Im<х"-• •:E_xE_t. ■. —%^п— \E_tE_t. ..) = 0, (6.3.36)

где

^хК; <v---) = (x'³-)*-

(6.3.37)

Подставим (6) в (36):

2 \Е_ШЕ^ ... | Im{(x^-;. ^л^::.)ехр[/(«р₁₍₁ + ф_ае+.. .)]}=0. (6.3.38)

ар...

Здесь все амплитуды и фазы проекций гармоник поля можно изме­нять независимо, поэтому выражение в круглых скобках равно нулю:

„12 ... _ ,,31 ...

Хар... — Ара...

(6.3.39)

Это перестановочное соотношение имеет более общий характер, чем (6.1.20), где предполагалась прозрачность вещества на всех частотах.

В случае непараметрического взаимодействия фазы выпадают и из (8) и (34) получаем

Im(x^Tl"- \e[e_seie₂ ... — x^ittl - : ele^e, ...) = 0, (6.3.40)

2 Ie_iae,_ee_2ya_i& ... I im(хЩ-.:;-_хЩ:::) = о. (6.3.41)

Отсюда получаем инвариантность к «блочным» перестановкам;

х№: = Ш:::- (6-3.42)

С симметрией этого типа мы уже встречались при рассмотрении рамановских и вообще двухфотонных переходов (§ 6.2). Полагая в (42) co₁ = o>_t>0, »₂=;—uj_s < 0, получаем при учете (6.1.15)

х£в?е К = -г »s —^ш5> = %Шк$ (o>s = % + o)_t—»t) *• (6.3.43)

Строго говоря, из (41) следует симметрия лишь для мнимых частей воспркимчивостей, однако с помощью соотношений типа Крамерса—Кронига (4.1.8) можно показать, что симметрии мнимых

б' 163

и вещественных частей %^гл" совпадают. Связь (42) следует также из (39), если рассмотреть резонансный параметрический процесс с частотами (0₃ = — <fl_lt w₄ = — <о₂:

й$::-Х$Ь (6.3.44)

Беря комплексно сопряженное выражение и используя частную симметрию (6.1.14) и (6.1.15), снова получаем (42).

Перестановочная симметрия восприимчивостеи, или соотношения Мэнли — Роу, приводят к существованию ряда простых интегралов уравнений для ММА. Например, в случае нерезонансного взаимодей­ствия коэффициенты связи 6 (33) инвариантны ко всем перестановкам индексов, поэтому правые части уравнений (32) для интенсивностей отличаются лишь знаками. Отсюда при с*ц=0 следует

s, dFjdz = s, dF_sfdz = . . . s„ dFjdz « Im (ft ... _-fll . . . (6.3.45)

где знаковые множители s_;=±l в случае k_ls > 0 определяются условием сохранения энергии в соответствующем элементарном про­цессе. Отсюда находим т—1 интегралов движения систем (31), (32), которые позволяют выразить интенсивности в m—1 модах через интенсивность одной моды:

Fb(s)^s^_kF_x(z) + C_k, С^О, (6.3.46)

постоянные C_h определяются через граничные значения F_h(0).

Если все существенные частоты, включая комбинационные, лежат в окнах прозрачности (т. е. параметрические процессы нерезонансны), то диссипация энергии поля отсутствует и должен быть еще один ин­теграл, выражающий закон сохранения общего потока световой энер­гий. Однако легко убедиться, что общий поток энергии выражается через константы С_к. Для этого умножим связи (46) на Ao>_h и сложим их вместе:

2 2 КС*. (6.3.47)

При параметрическом взаимодействии имеется все же еще один интеграл, определяющий разность фаз

Ф(г)=2 ^Ф*(г) (6.3.43)

к= 1

комплексных амплшуд а_к = J^F_fcexp (Цч\) через F_k(z) и ф(0):

s_r/>^+2B(Fi ••■ Г_я)^1Лсо5[ф(г)-|-ДАг] = С. (6.3.49)

Здесь я—любой из индексов 1,..., т. Дифференцируя левую часть (49) (при учете (31), (45) и 6=fS*), можно убедиться в ее независимости от z.

°Вывод одномерных уравнений. Чтобы вывести уравнения (17) для ММА в ш, q, г-представлении, выразим частотные компоненты

пели E_n(^r) ^или

E (ш, r) = (I/2) [£„ (г) б («-«>„) + El (r) 5 (<d + to„)],

фигурирующие в уравнениях Гельмгольца (2), через амплитуды'мод Е_% {г) == 4л| и_кг \ Е (о, д. g)/L, определенные в (15). Пусть <о > 0 н тип поляризации фиксирован, тогда

2* ^rH J ll J ^^А ( 4 )' ^ & ^ехР ■^г - ^to W '> ⁼ - (-^)^S ^ ^ (г) exp [ik-r) б {«—о! (fc)) =

= (-^)^а^?2|«_А1|-¹£_л(г)ехр[(в-.р±ЙЛ«. а)г]. (6-3-50)

№? = fe AJ, р = {х, (/}, и_кг~да>{к)1дк_г. Здесь функция*, (со, ?) = =sft_; > О определена неявно с помощью закона дисперсии: &₃)=« и использовано свойство б-функции:

б [/(*)] =2 «,-5 (*-*,-)- /(x_f)-0, ^|#/^|^.. (6.3.51)

Будем далее считать, что эффективно возбуждается лишь мода с определенным знаком тогда

^le^^M^r'-M^expU-ft-r), (6.3.52)

При подстановке (52) в (2) учтем, что обычно поглощение и не­линейность малы. При этом Е_к(г) мало изменяются на расстояниях порядка длины волны и можно пренебречь вторыми производными (приближение ММА подробнее см. [33]):

\<PE_k)uz*\<^\k₁dE_k)dz\. (6.3.53)

В результате \x\xeE (г)е**Р-«

Ax(ftxe) + «x(Vxe) + iV х (ft х е)}£ (г), (6.3.54)

индекс й пока опускаем. Первое слагаемое здесь в дальнейшем сократится ввиду (14). Умножим (2) и (54) скалярно на е и восполь­зуемся векторным тождеством

е ■{kx(Vxe) + Vx(kxe)} = 2{ex(exk)}-V, (6.3.55) тогда (2) примет вид (|Х»/16л») J d*q I y_b |-¹ x

x {2c^s [ex (ex*)]• V—«o|e• e*• г}F_fc(г) = 4яю|е• P^A-i(©*, r). (6.3.56)

Здесь вектор e x (ex ft) ~ E_k~x H_k параллелен лучевому вектору s_k, т. е. направлению потока энергии при s" = /""- = 0, а вектор V = ^zd/dz. Обозначим через 6 угол между s_k и г и через р~обычно

165

малый угол между s_ft к ft, тогда

[ех(ех ft)]-2 = — kcosQ ;озр=э —пщ/сж~-к_г. (6.3.57) Чтобы получить (17), осталось подействовать на (56) оператором Jd^spexp (— iq'-p).