§ 6.1. Нелинейные восприимчивости — определения и общие свойства

Прежде чем анализировать различные механизмы оптического эн­гармонизма, целесообразно выяснить общие свойства (например, сим­метрию нелинейного отклика вещества), не зависящие от выбранной конкретной модели. Для этого обобщим понятие феноменологической восприимчивости вещества (§4.1) на нелинейный случай.

Нелинейные восприимчивости. Пусть на вещество действует поле с дискретным спектром:

Я<0-(1/2)2£_яехр(—md„0 + k.c, п-1.2, ... (6.1.1)

Уравнения движения заряженных частиц вещества нелинейны. В ре­зультате индуцированные полем (1) смещения зарядов и, следователь­но, поляризация P(t) будут содержать фурье-компоненты не только с частотами действующей силы ш„, но и с комбинациями этих частот <j>rc±oi_m, в том числе с кратными частотами 2со_д и с нулевой частотой <»«—(»„=0.

Ограничимся сперва квадратичной по внешнему полю нелиней­ностью; тогда феноменологическая связь спектральных компонент поляризации вещества и напряженности электрического поля имеет вид

Р^Х"'^ <b)BiE,> (6-1.2)

где Р_е— комплексная амплитуда колебаний поляризации с частотой ©о=<01-т-й>_а, причем пока Полагаем ©_I^^L<»_a. Определенная этим равен­ством квадратичная восприимчивость (или квадратичная, поляризуе­мость) х'²' связывает три вектора и поэтому является тензором третьего ранга. Форма записи (2) не связана с определенной системой коорди­нат (часто используют также обозначение с двоеточием: P_a=x^li '-E_SE₂).

Если же фиксировать какую-либо декартову систему координат, то (2) примет вид

П£ = 2х$тК, ш,)£_1рЕ„. (6.1,3)

В дальнейшем знак суммирования по «немым» индексам р\ у будет, как это принято, опускаться.

Каждая из 27 компонент х«вт(^ы> <*>') тензора х^1г| является функци­ей двух независимых аргументов to, принимающих значения от —оо до -f-oo. Поскольку фурье-компоненты поля и поляризации комп­лексны, то х«рт — также комплексная величина и всего имеется 54 действительных функции от двух переменных. Однако, как будет по­казано ниже, между этими функциями существует целый ряд связей, уменьшающих число независимых величин.

Аналогично (3) определяют нелинейную восприимчивость произ­вольного порядка:

pirn) „ „('"> /Л,	■ ■ - Ч„)£1<^
J)„= О,+ ©„-!- . - -

(6.1.4)

Например, кубическая восприимчивость XapYfiWi- ш_а, ш_э) является тензором четверюго ранга, каждая из 81 комплексных компонент которого зависит от трех непрерывных аргументов. Заметим, что декартовы индексы a, [J, ... можно также рассматривать как аргу­менты функции %^{т\ принимающие по три дискретных значения.

Символически связь поляризации и поля можно записать в виде степенного ряда;

ft.

р(Е}*= 2 Х^(в,£^и. (6.1.5)

т = 0

В спектральном представлении эта связь—алгебраическая, а во вре­менном под х^(я" следует понимать интегральные операторы. Ядра этих операторов %^ш (t_lt ..., t_m) (многоеременные функции Грина или функции отклика вещества) определяют через спектральную восприимчивость (со₁₍ ..., в>_ш) с помощью m-кратного преобра­зования Фурье (для т~\ см. (4.1.7)), причем, как и в линейном случае (§ 4.1), принцип причинности приводит к интегральным свя­зям между вещественными и мнимыми частями %^ш типа соотноше­ний Крамерса—Кронига.

Для учета действия магнитного поля вместо (5) следует писать двойной степенной ряд ^у^^Е^Н". В некоторых эффектах нели­нейной оптики проявляется пространственная дисперсия, которую

можно описывать зависимостью %^1т* не только от «₁ <а_ш, но и

от волновых векторов k_u .... k_m-

°Разлнчные определения. Часто используют определение спект­ральных амплитуд £_п, отличающееся от принятого здесь (1) коэф­фициентом 1/2:

В (0 = S ^е*Р (— КО + к. с. Ё„ = EJ2. (6 1.6)

л

Аналогично при ®_пф0 Р₀ = Р₀/2, так что из (2) следует для квад­ратичной нелинейности:

№=(1/2) г'"ЕгЕ₂ = 2х^тЁ₁Ё₁ = у^ЁЛ- (6.1.7)

Таким образом, двум различным определениям спектральных амплитуд поля и поляризации соответствует следующая связь между воспринмчивостями m-го порядка'

Х*-"!> _ 2™-1^('я)		^0.

(6.1.8)

Исключением нз правила (8) являются восприимчивости четного порядка при (1>₀=0, описывающие эффект оптического выпрямления. Для них Р₀ = Р₀ и

Й<™> =, 2^fflx⁽""' ш„ = 0.

Предположим теперь, что можно пренебречь инерционностью от­клика среды (безынерционное или клейнмановское приближение, до­пустимое в случае, когда частоты поля и их комбинации лежат в окнах прозрачности вещества). При этом поляризация мгновенно следует за полем и в случае т=2

PS'(t)^X^E₆(t)E,(t), (6.1.9)

где х — некоторый вещественный постоянный тензор. В частности,

+x,,,e,(0^(0t-w^<0+.-. (6-1.10)

Из этого примера видно, что физический смысл имеет лишь сумма Хайт + Хатц. по отдельности эти компоненты не и?мернмы, поэтому тензор х симметричен по последним индексам, а тензор х'^м'~^по всем индексам, кроме первого *). Полагая в (9) поле бигармони-ческим, получим

P^(0 = (l/2)x^₇ReJ 2 [£_пв£;₇ + £_пв^ехр(-2((о_Л0] +

+ 2£₁p£_iVexp[-i(«₁ + (o_a);]+2£₁p£_i-_vexp[-i(to₁-(o_a)n}. (6.1.11)

Первое слагаемое описывает здесь оптическое выпрямление, второе — генерацию гармоник, третье и четвертое — сложение и вычитание двух частот.

') Ниже из энергетические соображений показано, что тензоры пол-

ностью симметричны.

С другой стороны, из определения восприимчивости (3) следует (индекс порядка восприимчивости будем иногда опускать)

+ Rei 2 Ьет-К> ^ю«! EnpEtrr ехр (—2i«_nf) +

Ха£П> (^wl> ^мг) lp^av ехр [— i (ti>j ю₅)-f-

*f Xd.jsy<^mi. — ffl))£i_P£s_Texp[—((toi—to^rjl. (6.1.12)

Сравнивая (11) и (12), находим, что в бездисперсионном при­ближении имеют место связи

_Х(_ш, <!>') = 2/ («о, ©) = 2х(м, —ю) — х

(6.1.13)

(здесь о'^и^О). Аналогично можно показать, что %(а>, 0) = 2х-Первое равенство в (13) сохраняется, очевидно, и при учете дис­персии, если только ч> и ш' достаточно близки. Итак, каждая ком­понента тензора %(ч>, <о'), рассматриваемая как функция двух пере­менных а> и <л', имеет на прямых ir/^^hw особенность — здесь она вдвое меньше соседних значений.

Аналогичные особенности при совпадающих частотных аргументах имеют и высшие восприимчивости. Соответствующие коэффициенты можно найти, повторяя вывод (13).

^сПерестановочная симметрия. Из определений (3), (4) следует ин­вариантность тензоров х^{1л,) к} перестановкам частотных аргументов вместе с соответствующими им декартовыми индексами:

(6.3.14а) (6.3 146)

Действительно, (3) можно переписать в следующих эквивалентных формах:

Сравнение последнего выражения с (3) дает (14а).

Из (14) следует, что тензоры, описывающие генерацию гармоник, симметричны по всем индексам, кроме первого.

Другое общее свойство восприимчивостей следует из веществен­ности поляризации и поля, которая требует, чтобы амплитуды при из­менении знаков частот заменялись на комплексно сопряженные вели­чины. Заменяя в (4) одновременно знаки всех частот и беря комплексно сопряженное выражение, получаем

_{°>i. .... -ЧаГ^г}

Сравнивая с (4), находим (ср. (4.1.5))

%{— w_lt ..., ~а_а)* = х(и>₁, .... ©J.

(6 1 15)

''Прозрачное вещество. Заметим, что пространственно частотные перестановочные соотношения (14) не затрагивают первого индекса. Покажем на примере х¹²\ что его перестановка возможна в нерезонанс­ном случае, когда все частоты лежат вне резонансов вещества. Введем для симметрии в обозначение восприимчивости третий частотный аргу­мент:

хК, «>.) = х(-<»₀; а₂) = х°^1г = х^аГг~*. (6-1.16)

где знак перед комбинационной частотой <в₀ = ©!-j-^ обеспечивает равенство нулю суммы всех трех аргументов восприимчивости (в последнем равенстве учтена связь (15)). Заметим, что иногда удобно использовать также такое обозначение;

Х(— со₀; шр ш_а)=хК = ^1 + ^ша)'

Найдем мощность, поглощаемую в единице объема вещества за счет квадратичной нелинейности в случае трехчастотного поля Со­гласно (4.1.10)

2

п=0

Отсюда в соотвеютвии с определением (3) парциальные мощности равны

^₀ = (I/2)«₀Im_Xl^_oa£_lfi£₃₇,

y^fl^^ImxiWA. (6Л.18)

5», = (1/2) w_s Im хЦ£Е;_уЕ'_фЕ_аа.

Отметим, что знаки и величины мощностей зависят от фаз полей. Из (IS) с помощью (15) находим

^ = (1/2) Im К (xlb-X&v) + (зй^-хШ)] Е'ш^Е_1у. (6.1.19)

Если все три частоты лежат вне резонансов, то поглощение отсутствует и вещество лишь перераспределяет энергию между тремя частотными компонентами поля, причем доля га-й компоненты согласно (18) про­порциональна civ

В прозрачной среде S^>=Q, и так как комплексные амплитуды £„_а произвольны, то выражение в квадратных скобках в (19) должно обра­щаться в нуль. При этом частоты из-за слабой дисперсии также можно считать произвольными, так что коэффициенты при <а_х и ©₂ по отдель­ности равны нулю. Итак, в прозрачной для всех трех частот среде к автоматической симметрии (14), не затрагивающей первого индекса, добавляются следующие связи:

	Храт —	.,210 ЛТра-

(6.1 20) 123

В общем случае нерезонансной восприимчивости произвольного порядка %^ш имеет место полная перестановочная симметрия по всем индексам. Возможность перестановки первых индексов приводит к соотношениям Менли — Роу (§ 6.3): 5⁾₀/ю₀= 5*₁/(я₁-т-5'₄/сй_а. Резо­нансные нелинейные восприимчивости обладают более ограниченной, чем (20), симметрией (§ 6.3). Например, рамановская восприимчи­вость удовлетворяет соотношению

11.213 — 1UB112* ХХХХ f'XXXH '

В бездисперсионном приближении %^,а" вообще не зависят от частоты, и поэтому тензоры восприимчивости симметричны по всем индексам.

В качестве примера использования соотношения (20) рассмотрим случай <&_%=— <й_х. При этом с учетом (13)

(0- ^—щ)=Xv/ta К = «i+ 0). (6.1.21)

Здесь добавлен множитель 4, в необходимости которого можно убе­диться, повторив вывод формулы (13) при наличии постоянного поля. Восприимчивость слева описывает оптическое выпрямление, а справа — линейный электрооптический эффект (эффект Покельса), т. е. изме­нение показателя преломления я((й,} на частоте «i, пропорциональное статическому полю £₀. Действительно, поляризация на частоте <о% при учете линейной и квадратичной восприимчивости равна

Л«= [х«вЫ + К= «4 + 0) ^Ew] = (ХоР + ^АЫ ^ЕФ (^{6 1} -²²)

Приращение восприимчивости Дх будет проявляться в анизотропном изменении An(v>-i). Таким образом, (21) связывает количественно два различных эффекта — давно известный эффект Покельса и обнаружен­ный лишь с помощью лазеров эффект выпрямления света. Другой пример такой пары связанных явлений — прямой и обратный эффекты Фарадея (обратный эффект — появление статической намагниченности, пропорциональной интенсивности световой волны с круговой поля­ризацией).

Итак, согласно (14) и (20) тензоры нелинейной восприимчивости у^,т) прозрачного вещества инвариантны ко всем (т-{-1)1 перестановкам своих частотно пространственных аргументов.

Отсутствие диссипации в окнах прозрачности позволяет определить энергию поляризации вещества v (§4.1). Если полностью пренебречь диссипацией, т. е. запаздыванием отклика, то по аналогии с (4.1.25)

_в<" (/) = _(Щг^ЕъЕрЕ,, (6.1.23)

где Е = Е [t). При термодинамическом описании эта энергия должна быть добавлена к плотности свободной энергии вещества Р и к дру­гим термодинамическим потенциалам (§ 4.1). При этом р, и х^ш определяются соответственно первой, второй и третьей производ­ными F{E) в точке £ = 0 (см. (4 1.29), (4.1.30)).

Пусть поле содержит три гармоники:

£ (0 = (1/2) 2 Е_пехр (- ш„0. (6-1 -24>

п

где

«=±0, ±1, ±2, (.}„ = + a^cv ю„^0," <о_„е= —о,,, £„_ч = £^,

тогда средняя по времени энергия поляризации будет

^7^йГЩ₌ _ ₍₃г_/3.₂») ^_рт£;„£_1е£₂._; + к.с. (6.1.25)

Для учета дисперсии следует заменить % на %{чз, со'), что воз­можно благодаря симметрии (15), (20). В результате

«¹²Ч{^^)=-(1/4)(х1^ад^+^М^;_Р£₂*т). (бл.26)

Это выражение позволяет определять нелинейную поляризацию, а также %^{*> через (ср. (4.1.33)):

(6.1.27)

Роль симметрии среды. В различных системах координат компо­ненты векторов поля £, поляризации р и связывающих их тензо­ров x^w принимают, конечно, различные значения. Правило преоб­разования при вращении декартовой системы координат имеет вид

&%-...= 2 а_И'«а_В'0 ■ ■ • (6-1-28)

а. р....

знак «~» отличает новые компоненты тензора). Здесь а—матрица перехода от старых координат к новым; в понятие вращения мы включаем и изменение знаков всех или части координатных осей, т.е. инверсию и отражения. Например, при инверсии я_н._а =— 8_к._а, так что

где т-р-1 — ранг тензора. Таким образом, при инверсии координат­ной системы компоненты тензоров нечетного ранга (в том числе векторов и тензоров квадратичной восприимчивости) меняют знаки

на обратные: Е_а = —Е_а, х^ = —_х¹Лт ■•■

Для тензоров, описывающих физические свойства вещества, суще­ствует определенная система координат, в которых тензор принимает простейший вид, с максимальным числом нулевых и одинаковых ком­понент. В кристаллах эта «естественная» система совпадает с кристал­лографическими осями. Например, вещественные тензоры второго ранга в естественной системе днагональны, x«i=Xa^a&-

Любая безграничная среда — аморфная или кристаллическая — обладает определенной симметрией в расположении частиц, усреднен­ном по тепловому движению. Формально эта симметрия среды опреде­ляется набором (группой) из некоторого числа .элементов симметрии, В частности, элементами точечной ^J) группы симметрии являются всё вращения системы координат а (включая отражения и инверсию), оставляющие неизменной структуру вещества. Так, многие кристаллы' а также оптически неактивные жидкости и газы инвариантны относи­тельно инверсии — такие среды называются центросиммгтричными.

Своей группой из элементов симметрии обладает и каждое макро­скопическое свойство среды, характеризуемое каким-либо тензором. Элементами симметрии тензора являются все вращения а¹", действую­щие по правилу (28) и не изменяющие при этом компоненты тензора. Например, согласно (29) все тензоры четного ранга инвариантны от­носительно инверсии.

Кажется очевидным, что симметрия макроскопического свойства среды не может быть ниже симметрии ее структуры (принцип Неймана [42]). Иначе говоря, группа симметрии свойства должна включать в себя все элементы симметрии структуры, т. е. последняя является подгруппой группы симметрии свойства. Следовательно, если а — эле- мент точечной симметрии структуры среды, то в равенстве (28) можно опустить знак «—». При этом оно становится уравнением, связываю- щим компоненты тензора i^lm) друг с другом. Подставляя в (28) пооче- редно все элементы симметрии среды о¹'¹, получаем однородную систе- му уравнений для которая в изотропных средах и в кристаллах с высокой симметрией резко сокращает число ненулевых компонент, а также делает многие компоненты равными, иногда с точностью до знака.

Наиболее яркий пример этого следует из (29) в случае центросим-метричных сред. Согласно принципу Неймана все тензоры, описываю­щие физические свойства таких сред, должны также быть центросим-метричными, т. е. в (29) можно опустить знак ~. Следовательно, при четных т должно выполняться равенство х£$..~—Х^в'... что возмож­но, лишь если %^(m)=Q. Итак, все восприимчивости четного порядка равны нулю в центросимметричных средах,

Заметим, что приведенный вывод неверен в случае восприимчиво-стей, описывающих магнитные эффекты. Дело в том, что магнитное поле и намагниченность — псевдовекторы (или аксиальные векторы, т. е. они при инверсия координат не меняют знака), и поэтому соот­ветствующие восприимчивости являются псевдотензорами и при ин­версии преобразуются не по правилу (29). В частности, эффект Фарадея, который описывается связью Pi =tj (ш, =<ui+0) EiH<>, возможен и в центросимметричных средах.