§ 4.2. Теория дисперсии

Закон дисперсий. В окнах прозрачности е"=0 и согласно (4.1.20) функция Грина 0 при н=Ке обращается в бесконечность; обычно через гг обозначают именно это «резонансное» значение отношения ск/а, называемое показателем преломления.

Это же условие определяет возможность существования нетриви­ального решения (Е_оф0) у однородных (Р₀=0) уравнений Максвелла. Таким образом, в среде без источников могут распространяться лишь

64 волны с определенной связью между длиной Я=2л/& и частотой волны. Эту связь

(4.2.1)

или обратную зависимость ю(£), называют законом дисперсии, а удов­летворяющие ей волны называют свободными или нормальными. Усло­вием существования нормального продольного поля является равенство е(со)=0 ¹). Из (1) следует, что фазовая скорость поперечных нормаль­ных волн в раз меньше скорости света. Групповая скорость, как известно, равняется производной da>fdk=u, отсюда следует, что про­дольные волны не распространяются (так как согласно (4,1.21) w(fc) = =cori5t н «=0 — мы опять исключаем влияние пространственной дис­персии).

В анизотропной среде условие существования нормальных волн, или обращения функции Грина в бесконечность, имеет согласно (4.1.19) вид

det(n^an-e)-0. (4.2.2)

Это условие называют уравнением Френеля. При фиксированных час­тоте о и направлении волнового вектора klk (2) имеет решения лишь для двух ^г) определенных направлений вектора поляризации e_v(y= = 1, 2). В общем случае вектор не перпендикулярен к и может быть ком­плексным, что соответствует эллиптической поляризации нормальной волны (подробнее см. [261). Законы дисперсии o_v(£) для двух нормаль­ных волн также различны, что приводит к эффекту двупреломления. В анизотропной среде вектор групповой скорости и равен V<*v(*) ^и в общем случае не параллелен фазовой скорости.

Учет поглощения. При учете поглощения уравнение Френеля имеет решения лишь для комплексных (о и/или й. Выбор определяется поста­новкой задачи. Стационарному эксперименту Соответствуют веществен­ная частота и комплексная постоянная распространения. В случае комплексного волнового вектора свободная монохроматическая волна затухает или усиливается при распространении. Сделаем в (I) замену k-yk=k-\-tee/2, тогда закон дисперсии нормальной поперечной волны в изотропной среде примет вид (fc-Ha/2)²=(e'+'e") w²/c*. Отсюда

k^%—к^а/4=о)²е'/с³, ак=чхЧ"1с^г

или

J^Re/iT=i(Ii±^)*\ (4.2.3)

¹) Мы пренебрегаем эффектами пространственной дисперсии, описываемой За- висимостью е от ft (см., например, [2, 22])

²) Эффекты пространственной дисперсии могут приводить к удвоению числа нормальных волн данной частоты. Соответствующие волны получили ааэзание «но- вых» (рис, 4,5).

f^Im[/7^(l^)^I/a; (4.2.4)

3 д, н. Клышко

65

знак корня выбирают из физических соображений. Эти формулы определяют положение двух полюсов функции Грина G (к, <о) в плос­кости к (см. (4.1.20)).

В области слабого поглощения, где а?<^.№, формулы (3), (4) принимают вид ________

(4.2.5) (4.2.6)

Следует еще раз подчеркнуть, что закон дисперсии ш_ч{&) и фиксиро­ванная поляризация e_v(k) имеют место лишь для свободных волн, т. е. волн, порожденных удаленными источниками. В области же заданных источников пространственная и временная зависимости «вынужден­ного» поля определяются распределением токов и могут быть любыми. В частности, тепловое флуктуационное поле внутри вещества создается хаотическим движением заряженных частиц и поле с данной частотой состоит из суперпозиции плоских волн со всевозможными длинами, причем волны с максимальной амплитудой не всегда удовлетворяют (5)

(см. (38)).

Итак, макроскопическая теория позволяет выразить все основные наблюдаемые закономерности излучения, распространения и поглоще­ния волн через феноменологическую функцию х(°>)- Следующей зада­чей является вычисление x(^w) ^с помощью микроскопической теории, Это традиционная задача неравновесной термодинамики, которая до сих пор не решена полностью.

Классическая теория дисперсии. Чтобы определить порядок вели­чины и вид частотной дисперсии линейной диэлектрической восприим­чивости, воспользуемся наиболее простой моделью вещества: будем считать его состоящим из независимых, неподвижных, одинаковых ато­мов или молекул. Под действием переменного электрического поля электронное облако молекулы начинает осциллировать (ядра полагаем неподвижными) и молекула приобретает дипольный момент d(t) = ——e^ri(t), пропорциональный в первом приближении полю. Здесь О-О — заряд электрона иг₍ — радиус-вектор i-ro электрона. Магнито-дипольный, квадрупольный и другие высшие моменты можно, как правило, не учитывать, так как в оптическом диапазоне масштаб про­странственного изменения поля ?t>10~5 см много больше размеров молекул й,,~10~^э см. Произведение d на концентрацию молекул N равно дипольному моменту единицы объема, т. е, поляризации; Р=

= Nd=xE.

Таким образом, задача вычисления восприимчивости сводится к вычислению дипольного момента молекулы, возникающего под дейст­вием внешнего поля.

Для учета влияния теплового движения зарядов необходимо ис­пользовать кинетическую теорию. В квантовой теории r_t и, следова­тельно, d являются операторами, поэтому надо производить как кван­товое, так и статистическое усреднение, т. е. использовать метод мат­рицы плотности.

Рассмотрим предварительно классическую модель Лоренца, в ко­торой молекула представляется осциллятором. Уравнение движения линейного изотропного осциллятора имеет вид

г + 2уг + ю*г =» еЕ_П0К1т, (4.2.7)

где /и, <в₀ и е—эффективная масса, частота и заряд осциллятора, у — феноменологическая константа затухания и £"_лок—поле в цент­ре молекулы, называемое действующим или локальным. Умножив (7) на eN, найдем уравнение движения для поляризации:

/* + 2уР + (^Р = ^£_лок/4я, (4.2.8)

где ъ>_р = ^neW/m)¹^—так называемая плазменная частота.

Поле в центре неподвижной молекулы Е_Л0а отличается от усред­ненного по пространству макроскопического поля Е- Согласно Лоренцу

Е_й^Е + ⁴-£р = Ц?Е, (4.2.9)

так что (8) принимает вид

р+2уР+ы1Р=ы*Е/4к, (4.2.10)

$ = 0,5—<Я. (4.2.11)

Отсюда, полагая поле монохроматическим, находим

"У⁴*,. ■ (4-2.12)

В дальнейшем сдвиги собственных частот (11) за счет поправки Лоренца будем считать включенными в определение а>„.

Предположим теперь, что имеется несколько типов независимых осцилляторов с собственными частотами Ш/ и концентрациями fjN (_// = 'Ь тогда

й/—<a^a—2i'y /<й

v = ^£ V 'J—

4л Z- ZA-uP—\

(4.2.13)

Параметр fj называется силой осциллятора. Аналогичное выражение, которое во многих случаях хорошо описывает наблюдаемую дисперсию восприимчивости, будет получено ниже с помощью квантовой теории.

Заметим, что для очень больших частот или в случае свободных электронов в плазме или металле можно положить в (13) co^xOj, так что

~ о>(ш + 2(у) "

Квантовая теория дисперсии. Будем теперь исходить из кинети­ческих уравнений для матрицы плотности (3.3.10) с феноменологи­ческими релаксационными параметрами у,,,,, w_Ma. В дипольном при­ближении энергия возмущения f³ = — d-E, и ее матричные элементы

в случае монохроматического поля имеют вид

(0 = -Ш_я^-^Ш12 + э. с., (4.2.14)

где

(4.2.15)

Б,уквы э. с. заменяют эрмитово сопряженную матрицу -<_т-£^/2 = -й_яч.^'/2.

Монохроматическое возмущение вызовет в линейном приближе­нии такой же отклик, поэтому будем искать матрицу плотности в виде

^{Р& (О —Р™ М е~ш + э. с. (4.2.16)}

В нулевом порядке теории возмущений матрица плотности диаго-нальна, f&~p$b_an, так что, подставив (14) и (16) в (3.3.10), най­дем для тф-п

о¹¹'

(4.2.17)

^гд^е а_вл = p„—р,я—относительная разность населенностей уровней пит. Диагональные элементы р™ согласно (3.3.10) будут обратно пропорциональны частоте возмущения ю и, если интересоваться лишь резонансными эффектами, при условии у!чк^\ можно считатьр^,}=0. Итак, амплитуда отклика на гармоническое возмущение пропорцио­нальна разности населенностей и достигает максимума в случае ре­зонанса о>= (й_тп.

Подставив (17) в (3.1.6), находим дипольный момент молекулы и поляризацию:

p=N<rf(()> = -! р_ае~«" + к.с.,

⁰ К ~

Отсюда в соответствии с определением (4.1.1)

'v x &тп Опт ^атп

(4.2.18)

где = — проекция дипольного момента молекулы на ось а=х, у, z.

Легко проверить, что полученное выражение обладает необходимой симметрией (4.1.5) и удовлетворяет принципу причинности (рис. 4.1). Заметим, что (18) можно представить в несколько ином виде:

Ьв=2Ж<г>),

Опт "п

„(Ш (_w\ = _L У / "wit "m«

(4.2.19)'

Здесь а¹"¹ имеет смысл тензора поляризуемости молекулы, находя­щейся в состоянии п. В отсутствие статического магнитного пола невозмущенные волновые функции и, следовательно, матричные эле­менты d„„ = d„_m можно полагать вещественными (см. [25], с. 469). При этом (19) в согласии с (4.1.6) инвариантно к перестановке ин­дексов а, р:

^{-а$ = f £ Л™™ „ ■ (4-2.20)}

С помощью (18) и (4.1.11) легко показать, что каждая пара уровней (т, п) Дает положительный или отрицательный вклад в энергию поля в зависимости от знака ш_тпЛ_пт, т. е. для усиления поля необходима инверсия населенностей (см. также (21)).

Для газа (18) надо усреднить по случайным ориентациям н ско­ростям молекул. При усреднении по ориентациям недиагональные-элементы тензора d^dp обращаются в нуль, а диагональные дадуг | <ffi|² = l ^я_Ч|²/3. В результате тензор восприимчивости (18) стано­вится скаляром:

2N у a>,„A&|rf,,„|» _{j4 2 21}.

³^m>_n u»»t-(« + ("Y«._n)" ' '

В последнем выражении учтено, что в двойной сумме каждое сла­гаемое с тфп встречается дважды:

2^_я = 2й_ля+ 2 (а_ап + а„_а), (4.2.22)

mil п ш > гг

причем в (21) диагональные слагаемые равны нулю, так как Д„_д=(г_ °Сила осциллятора. Для сравнения (21) с классическим выражением (13) определим следующие безразмерные величины, называемые силами осцилляторов:

!_тп^ты_пт\а_тп\ЧЪке\ (4.2.23)

Заметим, что возможно и феноменологическое определение силы ос­циллятора через х" (см. Е22), с. 391).

Будем нумеровать всевозможные пары состояний [т, п) одним ин­дексом 1={т, п], причем т>п. Если пренебречь слагаемыми y^s в зна­менателе (21) и отождествить fj=f^m^nm< то (21) примет вид (13). Таким образом, квантовый расчет подтверждает модель Лоренца: в пер­вом приближении по амплитуде внешнего поля вещество ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с затуханием. Однако fj может теперь принимать отрицательные значения, что проявляется в эффек­тах квантового усиления (%"-<0) и отрицательной дисперсии (Э^'/дшО вне резонанса).

Напомним, что согласно (4.1.7) б-импульс поля вызывает импульс поляризации, равный фурье-образу х (<->)■ 3 соответствии с (21) полюсы Функции комплексной частоты х(ш) находятся в точках й,=±(о,— iy_f нижней полуплоскости, поэтому импульс поляризации будет состоять из суммы затухающих гармонических колебаний:

/ ¹

Полученное выражение определяет функцию Грина для поляризации вещества через собственные частоты и силы осцилляторов переходов.

С илы осцилляторов удовлетворяют правилам сумм. Так, в случае одноэлектронных переходов

(4.2.25)

Это равенство можно получить из правила коммутации [х, р] = ih (pmzpx). Пусть #Г₀ = />«/2т + ^(г), тогда

[х, 9е,[ = &р1т, р_яп=г1гш_я^_яп; (4.2.26)

отсюда

<•>*„I ^хшп |^а - ix_mnp_nJm = — ip_max„Jm, 2»_ия 1 х_тп\^s = i[р, x]_nj2m^-h/2m.

т

Из последнего равенства получаем (25).

Для наиболее сильных оптических переходов атомов |/_яя|«1. Например, для «резонансной» линии атомарного водорода / = 0,416 (переход Is—2р, Ь = 0,12мкм). Отсюда по формуле (23)

1*«|-№Л.»/^2)»/«-10-'см, (4.2.27)

что соответствует | d_mtl\ = 4,8- 10^_1ВСГС = 4,8Д. Здесь %_с = А/тс ж «4-10^-11см—комптоновская длина волны и К = Х/2я. Для разре­шенных переходов между вращательными уровнями в миллиметро­вом диапазоне d_mn также имеет порядок 1Д, но при этом согласно (23) f_ma — 10^_в. Заметим, что сумма в (25) должна включать и ин­теграл по непрерывному спектру ионизированных состояний, напри­мер, на долю последнего в водороде при rt = Is приходится / = 0,43.

Изолированный резонанс. В области узкого одиночного резонан­са можно учитывать лишь одно слагаемое в двойной сумме (21):

Х = Х,+ < (4-2-28а)

шо—и —2<yai

здесь &% = kNePlShysaftoySnyiUQ и %_л — вещественная восприимчи­вость, обусловленная другими резонансами, В знаменателе (28) опу­щено слагаемое у^а. которое можно, как и поправку Лоренца (11), включить в определение и>₀. Параметр Д%, пропорциональный плот­ности активных частиц Л.М и квадрату момента перехода а?, опре­деляет максимальное значение х" и амплитуду изменения %' (рис. 4.2).

В оптическом диапазоне обычно добротность резонанса »₀/2у ^> 1, поэтому в непосредственной окрестности резонанса можно использовать

простую приближенную формулу:

(4.2.286)

ГДе

_{х = (а—<о0)/у, <i> ~ oifl > V > °.}

0,5

0,5

Обратим внимание, что при удалении от резонанса |х*| падает много быстрее, чем |х'— X» |> поэтому в окнах прозрачности, где Х"<5П, показатель преломления п может все же заметно отличаться от единицы. На достаточном удалении от резонанса поглощение можно не учитывать и (28а) принимает вторую асимптотическую форму (рис. 4.2):

(4.2.28b)

Х~~Х«

' ш„—ш^г 1—(аЧт ' где х«^Х(0).

При интерпретации оптических экспериментов обычно вместо % или £= I +4лх используют более близкие к эксперименту параметры

—показатели преломления и затухания:

а =з kcfto --- Re V^r£, и = ас/Ъы = lm уТ. (4.2.29)

Величина к^-1 имеет смысл глубины проникновения волны в веще­ство, выраженной в единицах к/2=с/2а. На рис. 4.3 представлена дисперсия этих параметров в области одиночного резонанса соглас­но формулам (286, в) и (3)— (6).

В лазерных веществах обычно 1а]<^1 см~\ так что |е" «|«J/£< Ю^-4 и заведомо применимы приближения (5), (о), ставляя в них (28б), находим

Под-

п**п.(\-£ф). (4.2.30)

(4.2.31)

_Где Па, ss 8^^/в = (1 -\-4пх_хУ^/1 — показатель преломления при х5^>1 и Дв = 4*ДХ = = l^l² (4.2.32)

— «амплитуда» резонанса для е. Отметим, что (31) совпадает с ре­зультатом «вероятностиогов расчета (2.3.19) к что при инверсии населенностей % , %" и а меняют знаки. При этом ход дисперсии показателя преломления противоположен обычному — п падает с ростом частоты вне резонанса и растет в области поглощения. Это явление называется отрицательной дисперсией.

В конденсированном веществе узкие резонансы часто имеют боль-тую амплитуду, Ае > 1. Это особенно характерно для. дисперсии в в ИК-области около собственных частот колебаний решетки ионных кристаллов; соответствующие элементарные возбуждения — квазтас-тицы — называются оптическими фононами. Пусть, например, d— 1Д, AN — 10²*cm~^j и A(u = 2y= 1 см^-1, тогда согласно (32) Дв = 4¹), Если при этом /=1 и л₀ = 1 мкм, то плазменная частота будет много больше До, но все же много меньше со₀: а>_р = (ш^АмДе)¹/² = 200см""¹.

Из однородных уравнений Максвелла следует, что возможны продольные колебания с законом дисперсии е(», k) = 0. Если пре­небречь диссипацией и пространственной дисперсией, то эти коле­бания имеют фиксированную вещественную частоту io_t и произволь­ный волновой вектор, т. е. нулевую групповую скорость и — da/dk-Согласно (28в) при / = в_ж=1

®_t^V + & Щ + ®*_Р/2щ = <>>₀ + уАе. (4.2.33)

Следовательно, при Ле^>1 расщепление продольной <o_t и попереч­ной щ частот много больше параметра затухания у. Это же усло­вие определяет существенность сдвига собственной частоты молекул за счет нх кулоновского взаимодействия (11), так что под щ в (33) следует понимать <в₀—у&,ъ{3.

В интервале <в„—ы_с согласно (28в) е<0 и волновое число fc — а У в/с чисто мнимое, так что поле теряет волновой характер. Таким образом, в этом интервале имеет место ^запрещенная зона», в которой модуль френелевского коэффициента отражения i?=(^e— l)f (Ke-j-l) обращается в единицу и диэлектрик ведет себя как ме- талл. Отметим, что металл при, наоборот, подобен дит электрику.

*) Здесь опущен множитель 2лс, связывающий а я частоту а обратных сан­тиметрах.

та

"Поляритеты. В случае слабого затухания допустимо квантовое¹ рассмотрение макрополя в среде (§ 7.4). При этом возникает понятие фотона в среде или поляритона (не путать с поляроном — свободным» электроном в диэлектрике при учете поляризации им окружающего* Вещества). Поляритон (иногда используется термин светожеитон) — это элементарное возбуждение макрополя и связанных с ним молекул с энергией А®, которое распространяется со скоростью a=dcn/dk. При приближении и» к ш» все большая доля энергии поляритона при­ходится на внутреннюю энергию молекул.

При падении фотона из вакуума на среду он с вероятностью 1—\R\³ превращается в поляритон, который, пройдя в среднем расстояние а"¹, поглощается. Импульсы фотона в среде %к отличаются в п раз от им­пульса &ш/с вакуумного фотона с той же энергией.

Поляритоны возбуждаются также за счет тепловой энергии, при этом их среднее число на моду равно функции Планка Ж (и) - Согласно ФДТ (§ 7.7) и/г-спектр равновесных флуктуации поля в среде пропор­ционален сЛГ(ш) G"(o), k), где 0 — функция Грина для макроскопиче­ских уравнений Максвелла (§ 4.1).

Рис. 4.4. Зависимость спектральной плотности равновесного поля деленной

на ~&Jf?2^, от частоты и волнового вектора в окрестности резонанса диэлектрической проницаемости при щ/у—20 н Де=5; сплошные линии — поперечные относительно к флуктуации, штриховые — продольные; из рисунка ясно, что частотный спектр теп­ловых флуктуации поля описывается законом дисперсии (штрих-пунктир) без ано­мального участка

Выше говорилось о законе дисперсии, т. е. связи между частотой и длиной волны, для свободных волн, создаваемых удаленным источни­ком. Возможны и другие определения функций я (со) или m(k), напри­мер, по максимуму мнимой части функции Грина 0"(и, k). Соответ­ствующий закон дисперсии проявляется в экспериментах по рассея­нию света на поляритонах (§ 5.5).

Подставим e(w) в однополюсной аппроксимации (286) в (4.1.20), (4.1.21), тогда при (о > О

e*-^rSjxs. (4.2.34)

4л

— 6„-f-ie/(*­где

х = (со—а>,)/7, ^ = (с£/ю)^г—е*.

Отсюда спектры поперечных и продольных флуктуации поля описы­ваются функциями (рис. 4.4)

,-,„ 4лДе

^U* ~ (де+зд>«+а«' (4.2.36)

Если пренебречь зависимостью параметра у от ю, то спектры флуктуации при фиксированном k имеют лоренцеву форму с цент­ральными частотами, определяемыми уравнениями

ё(ш) = (<гА/ш)". вЮ=0, (4.2.38)

где функция е ((о) совпадает с (286) при условии 7 = 0:

е = е_в—ДеД» е_ж4-/(о=/(с^—oj²). (4.2.39)

Таким образом, закон дисперсии для равновесных флуктуации поля (38) отличается от закона дисперсии для свободных волн (3) cA/w = Re Vz (<о) отсутствием параметра затухания у.

Закон дисперсии (38) соответствует условию дО"/дх=0. В то же время условие максимума G"_x при фиксированной частоте дО';/ду=0 приводит согласно (36) к знакомому закону дисперсии (5) Ree(co) = =(с&/ы)³. Отсюда следует, что наблюдаемый в области резонанса закон дисперсии зависит от условия эксперимента.

Дисперсионные свойства среды при качественном рассмотрении удобно представлять графически в виде связи между ш и к вместо за­висимостей между в или га и о). На рис. 4.5 показана такая связь в раз­личных приближениях и приведены часто используемые названия соот­ветствующих квазичастиц.

При пренебрежении связью поперечного поля с колебаниями заря­дов, что допустимо при А^>ю₀/с, элементарное возбуждение, т. е. квант энергии вещества, называют экситоном или оптическим фононом, если речь идет о полярных колебаниях ионов в решетке кристалла. Эксито-ны аналогично фотонам, в зависимости от описывающего их волнового пакета, могут быть или локализованными в некоторой области кристал­ла, или распределенными во всем пространстве. В приближении Де=0 дисперсионные кривые фотонов и экситонов пересекаются без взаимо­действия и экситоны падающим полем не возбуждаются.

При малых Де и пренебрежении диссипацией имеет место «антипе­ресечение» или «отталкивание» дисперсионных кривых, которые при­нимают в области взаимодействия вид пары гипербол с небольшим зазором (рис. 4.5, а).

При Де^>1 колебания зарядов и поля сильно влияют друг на друга и дисперсионная картина существенно меняется — появляются про­дольная ветвь и запрещенная зона, при приближении к которой и-э-0

{рис, 4, 5, в). Электромагнитная волна сопровождается синфазной (ыо„) или противофазной (ох>а>₀) волной поляризации, вклад кото­рой в общую плотность энергии составляет заметную долю. Подчеркнем

Рис. 4.5. Дисперсия в различных приближениях: вдфрам соответствуют следующие названия кваэичастиц. 1 — фотон; 2 — механический экситон, или оптический фо-нон] 3 — кулоноескиГ. зкситон (продольный и поперечный); 4 — поляритон (свето-дкситон); 5 — «новые» волны; а) сила осциллятора или плотность частиц малы, дис-■персионные ветви «антипересекаются» с небольшим зазором; 6) учет кулоновского взаимодействия молекул шикает вырождение между частотами продольных и попе­речных экснтонов; е) }чет взаимодействия молекул и поперечного поля приводит к поляритонным эффектам — к появлению запрещенной зоны (заштрихованная об­ласть), к днсгсерснн фазовой скорости ro/fe поляритонд вне зоны н к обращению его •групповой скорости и в нуль на обоих границах зоны; г) учет диссипации приводит к размытию закона дисперсии, к конечным временам жизни т и длине пробега =»т для полярнтоков; при этом возбуждаемые извне волны испытывают аномаль­ную дисперсию (штриховая линия); 9, е) —учет анизотропии вещества приводит к зависимости частот экснтонов и полярнтонов от направления волнового вектора klk. На рисунке представлена частотная и угловая дисперсия к (со, д) для необыкновенной волны в одноосном кристалле в случаях слабой (д) и сильной (г) анизотропии; Q —-угол между волновым вектором и осью z кристалла, сод и ш; — 'гастош, на которых з_зг равно соответственно со и 0, too и — то же для e_xx=f_yi/

еще раз, что продольные колебания в приближении и=0 не распро­страняются, т. е. это волны с фиксированной частотой со_£ и произ­вольной длиной волны.

Конечно, рассмотренные нами простейшие модели лишь качествен­но описывают дисперсию поля в реальных средах. Для описания эф­фектов пространственной дисперсии надо учитывать зависимость па­раметров Лв и Ша от k [2, 221. Для учета доплеровского уширения сле­дует проинтегрировать (28) по распределению Максвелла для ©л в слу­чае газов и по распределению Ферми — Дирака — в случае межзок-ных переходов в конденсированных средах. Переходы между узкими экситонньши зонами в полупроводниках и молекулярных кристаллах описываются дисперсионными функциями (28) с зависящими от а и ft параметрами Де, <о₀ и к. Вычисление этих параметров представляет интересную задачу теории твердого тела.

Отметим в заключение, что вместо в иногда проще вычислять непо­средственно функцию Грина О или связанную с ней формулой Кубо (§7.7) спектральную плотность равновесных флуктуации [48].