§ 3.2. Населенности уровней

Равновесные населенности. В случае термодинамического равнове­сия все статистические свойства системы определяются каноническим распределением Гиббса. Это распределение применимо как к изолиро­ванным макроскопическим системам, так и к системам любых размеров, взаимодействующим с термостатом. В применении к отдельным атомам или молекулам идеального газа распределение Гиббса соответствует матрице плотности следующего вида:

PZ = b_mJ£ = 5_ИВ ехр (- £JkT)!Z, (3.2.1)

где нормировочный множитель, называемый статистической сум* мой, определяется из условия нормировки:

Z = 2exp(— SJyT). (3.2.2)

Индекс m здесь нумерует различные состояния атома, поэтому населенность уровня с ^„-кратным вырождением равна

(3.2.3)

Эта формула называется распределением Больцмана. Заметим, что равновесный оператор плотности (I) можно представить в виде

р«> = ехр:(—ЙукТуБр {ехр (-$у«Г)}. (3 2 4)

Как было показано в § 2.3, взаимодействие внешнего поля с ве­ществом определяется населенностями «резонансных» уровней N~_u M_t. В первом приближении теории возмущения наличие переменного поля приводит к возникновению лишь недиагональных элементов матрицы плотности, pia^w£\ а диагональные элементы остаются без изменения, pi,^us»0, поэтому при достаточно слабых полях можно рассчитывать населенности с помощью распределения Больцмана (3).

Согласно распределению Больцмана в основном заселены лишь уровни, отстоящие от основного на энергию порядка или меньше хТ. Следовательно, поле с частотой, много большей х7УЙ=й>_г, вызывает лишь переходы вверх. При комнатной температуре эта граничная час­тота лежит в далеком ИК-Диапазоне (v_T=w_T/2ttc?&2GO см^-1, Я_г= = I/v_r?s50 мкм), а при гелиевых температурах — в СВЧ-диапазоне (v_Tttl см^-1).

В случае атомарных газов или примесных ионов в кристаллах пер­вые возбужденные уровни лежат, как правило, много выше этой гра­ницы и практически все частицы находятся на основном уровне, так что в поглощении света принимают участие все частицы: АЛ'"—'Nt~N.

Часто основной уровень обладает вырождением g„ которое может быть снято (полностью или частично) за счет спин-орбитального взаимодей­ствия (тонкая структура) или статических полей (эффект Штарка или Зеемана). При этом частицы распределяются по подуровням, и если расщепление много меньше к7\ то населенности подуровней при­мерно равны NIgi, а разности населенностей имеют согласно (3) по­рядок

АЫ~фа>^гУ.Т) N<^N. (3 2 5)

Переходы между такими подуровнями в примесных кристаллах ис­пользуют в парамагнитных усилителях, и соотношение (5) объясняет необходимость охлаждения рабочих веществ усилителей до гелиевых температур

В случае молекулярных газов или растворов органических краси­телей основной электронный уровень обладает богатой вращательно-колебательной структурой, перекрывающей СВЧ- и средний ИК-диа-пазоны, поэтому молекулы распределены по множеству уровней и разности населенностей также невелики.

Двухуровневая система и отрицательная температура. Рассмотрим зависимость населенностей двух невырожденных уровней от темпера- туры Расположим начало отсчета энергии посередине между уров- нями, так что _а = ± тогда из (1) следует Pi, _s=*e^±A:/Z, где л==Й<а/2и7\ Из условия р_д + р₂=1 находим Z = e* +е'~^!-, и в резуль- тате

р_1Йи^₁/^=(е-« + 1)-¹, _Pj = JV_i/AT = (e" + l)-i_i (3.2.6) A = ^^i = ihx. (3.27)

Рабочее вещество лазера, в принципе, находится в сильно неравно­весном состоянии, и распределение Больцмана (3), как и вообще поня­тие температуры, к нему неприменимо. Однако удобно сохранить соот­ношения вида (6), (7) и для неравновесных систем, понимая под Т в этом случае некоторый эффективный параметр. Эффективная, или спиновая, температура для данной пары невырожденных уровней определяется через отношение населенностей следующим образом:

ЛГ_И/ЛГ_В—ехр (Йш^/яГ.ф),

(3 2 8)

т.е. эффективная температура есть просто логарифмическая мера отношения населенностей. Из (8) следует, что при инверсии Т₃$ < 0.

Легко убедиться, что формулы (6), (7) сохраняют свой вид и для неравновесных систем, если под Т понимать эффективную тем­пературу. На рис. 3.1 представлена зависимость относительной разности населенностей от эффективной температуры, построенная по формуле (7) для всей шкалы температур, как положительных, так и отрицательных. Полной инверсии (_Pi—р_а = Д = — I) соответ­ствует 7*_аф = —0, при полном насыщении (р_х = р_а= 1/2, Д = 0) ^_Вф=*±=», приД = 1 7Лф= +0- Заметим, что в двухуровневой системе с отрицательной температурой запас энергии больше, чем в системе с положительной температурой.

^{= Pitfi + Р А = — А - — (Йш/2) th (3.2.9)}

где д;= Йы/2кТ_э4).

Можно определить через 7"_aitl и энтропию неравновесной двух­уровневой системы. Согласно определению (3.1.21) и (6)

S= —р, In p_L—р₂ In _Ра = In (2 ch х)—х th л\ (3.2.10)

Таким образом, энтропия является четной функцией температуры с максимумом S₀ = ln2 при Т^ = ±<х> (рис. 3.1).

В дальнейшем мы покажем, что интенсивность теплового излу­чения двухуровневой системы также выражается через эффектив­ную температуру (§ 7.1). При 7"_Эф < О это излучение определяет шумы кванто­вых усилителей (закон Кирхгофа для от-рнцательной темперагуры), в частности, при <§; я ] Г_аф J шумовая температура з усилителя равна по модулю эффективной.

T_m = \ 7\ф |-

"Населенности в полупроводниках. Рас

чет числа активных частиц с помощью рас пределения Больцмана (3) невозможен в случае межзокных переходов в полупровод­никах (такие переходы используют в полу­проводниковых лазерах). В отличие от свя­занных электронов в газах или в примес­ных диэлектрических кристаллах электро­ны в валентной зоне и зоне проводимости полупроводника делокализованы и могут обмениваться местами. Возможность обмена заставляет рассматри­вать многоэлектронную задачу и учитывать антисимметрию общей волновой функции по отношению к перестановке двух электронов, которая приводит к принципу Паули.

В первом приближении электроны ведут себя как частицы идеаль­ного квантового газа большой плотности. Применение общего распре­деления Гиббса (оно имеет вид (I) при условии, что индекс m нумерует все возможные состояния многочастичной системы) к идеальному газу с учетом принципа Паули приводит к распределению Ферми — Дирака f^m{$), которое мы для сравнения с (3) представим в следующем виде (рис. 3.2, б):

= 2/«'(tf J = 2 {exp [(^-fO/кГ] + I}"¹,

(3.2-11)

где коэффициент 2 учитывает спиновое вырождение, и, — уровень Ферми, определяемый условием нормировки ^N$=N (N — общее число электронов), и ^_т— разрешенные значения энергии одного электрона. Дискретность спектра является следствием периодических граничных условий для волновой функции электрона. Согласно (11) средняя населенность любого уровня не может превышать двух элект­ронов в соответствии с принципом Паули.

Уровни энергии электронов $_т в полупроводнике распределены в разрешенных Бонах практически непрерывно. В результате насе­ленность N_m можно считать функцией непрерывного аргумента & и условие нормировки ^M_m=N, определяющее неявно уровень Ферми, принимает вид

ld£g(£)N(£} = N, (3.2.12)

где область интегрирования охватывает зону проводимости и валент­ную зону, g($) — плотность энергетических состояний.

Рис. 3.2, Инверсия населенностей в полупроводнике: а) связь между импульсом р » энергией £ (закон дисперсии) для электронов и дырок {£g — запрещенная зона); свет с частотой <й и волновым вектором k переводит электроны с уровня £i ^на УР°~ веяь $₂ (или обратно); й) населенности уровней в равновесном полупроводнике (рас­пределение Ферми — Дирака); в) при инжекцни носителей уровень Ферми ц рас­щепляется на квазиуровни ji, и для некоторых пар уровней имеет место инверсия

Для чистых полупроводников уровень Ферми лежит примерно в середине запрещенной зоны. Если бы здесь имелись примесные уровни, на них находилось бы по одному электрону — уровень Ферми р. можно формально определить как уровень, заполненный ровно наполовину. При низких температурах граница между заполненными и пустыми уровнями очень резкая (рис. 3.2, б).

Для достаточно высоких уровней, для которых $—\l^>xT, можно пренебречь единицей в знаменателе выражения (11), и оно принимает вид распределения Больцмана (3):

^М_т ^{- 2Z-i ехр (—&JKT) <^ 2, (3.2.13)}

где Z = exp(—ц/уТ).

"Инверсия в полупроводниках. Рассмотрим условие квантового усиления при межзонных переходах в полупроводниках. Падающее поле с частотой ш, превышающей ширину запрещенной зоны <st_gl%, вызывает почти «вертикальные» переходы электронов с уровня 1 ва­лентной зоны на уровень 2 зоны проводимости (рис. 3.2, а). Уровни 1, 2 в зонах однозначно определены законами сохранения энергии Йю=^?_а—Si и импульса hk=Ps—Pi (точнее, квазиимпульса).

Число вынужденных переходов вверх пропорционально вероятно­сти заполнения нижнего уровня NJ2=f(Si)=fi, умноженной в соот­ветствии с принципом Паули на вероятность 1—Д того, что на верхнем уровне имеется дырка. Аналогично число переходов вниз пропорцио­нально jF_B(l—/1) с тем же коэффициентом пропорциональности (см. (2.1.24)). Суммарный эффект поглощения или усиления энергии поля пропорционален разности:

a-WW0-/,(l-/i)=/i-/.=№-JV,V2. (3.2.14)

Таким образом, вклад одной пары резонансных уровней в коэффи­циент поглощения пропорционален разности их заселенностей, как и в случае локализованных электронов, и условие инверсии имеет вид

Н#,)>П€0- (3-2.15)

В равновесном полупроводнике /=/⁽⁰⁾ и это условие не выполняет­ся. Однако если, например, в зоны с помощью внешнего источника постоянного тока инжектируется достаточное количество носителей заряда — электронов н дырок,— то условие (15) может быть выпол­нено (рис. 3.2, в). Легко показать что для этого носители в зонах должны быть вырождены:

(3.2.16)

Здесь ц._с, щ— квазиуровни Ферми в зонах проводимости и валентной. Кроме метода инжекции, в полупроводниковых лазерах используется оптическая накачка (одно- или двухфотонная) и накачка электронным пучком.

Отметим здесь, что усилители и генераторы, использующие свобод­ные электроны,— гиротроны, лазеры на свободных электронах и т. д.— также можно описывать в терминах инверсии населенностей (чисел заполнения). Так, в квазимонохроматическом пучке со средней энер­гией So занята лишь узкая группа уровней около So, поэтому имеет место инверсия f(SoY>f($) по отношению ко всем нижележащим уровням.