3. Транспортна задача лінійного математичного програмування

Транспортні задачі – це задачі вибору оптимального варіанта логістики товарів від пунктів виробництва до пунктів споживання з урахуванням усіх реальних можливостей.

Алгоритм транспортної задачі лінійного програмування отримав свою назву після його застосування для виконання завдання з визначення кращих маршрутів перевезення вантажів. У своєму класичному вигляді алгоритм транспортної задачі такий.

Ряд постачальників ( і=1,2...,n) повинні перевезти вантажі (а_і) для певної кількості споживачів (j=1,2..., n_і), потреба у вантажі для кожного з них - величина b_j. Кожен постачальник має право перевезти свій вантаж або його частину якомусь постачальнику, що можна зобразити на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Схематичне уявлення маршрутів перевезення вантажів.

Використання розрахунків транспортних задач, як правило, знижує транспортні витрати на 10–30 %. Зазвичай її математичну модель можна розглядати як модель розподільної задачі лінійного програмування.

Групи транспортних задач за постановкою:

1. Задачі мінімізації вартості перевезень товару від пунктів виробництва до пунктів споживання.

2. Задачі мінімізації довжини маршруту при перевезенні від одного постачальника до кількох споживачів.

3. Задачі мінімізації строків перевезення товару від пунктів виробництва до пунктів споживання та ін.

Припустимо, що т = 2, а п = 3. Складемо допоміжну таблицю для перемінних (табл. 10.1.)

Таблиця 10.1

Кар'єри, m	Об'єкти робіт, n
	1	2	3
	Вартість перевезення 1 м3, грн.
1 (а1)	Х11	Х12	Х13
2 (а2)	Х21	Х22	Х23
	b1	b2	b3

Сукупність перевезень з кар'єру 1 повинна задовольняти рівнянню

. (10.4)

Для кар'єру 2 аналогічно отримаємо

. (10.5)

Ці умови ще недостатні для розв’язання задачі. На кожний об'єкт потрібно завезти матеріали в необхідній кількості, тому необхідно скласти наступні співвідношення:

(10.6)

Завдання буде називатись "закритим", коли зберігається умова:

Вантажі від постачальників до споживачів переводяться у будь-якій кількості (Х_ij) за певним маршрутом. Оскільки довжина маршрутів буде різною, то і вартість перевезення одиниці вантажу буде різною і становитиме величину С_ij Отже, за конкретним маршрутом, що пролягає від кожного і-того постачальника до кожного j-того споживача, може бути перевезена чи не перевезена частину вантажу. Ця умова має такий вигляд:

X_ij≥0

Вирішення задачі в тому, щоб визначити такі маршрути перевезення вантажів, які забезпечили б найменші витрати на перевезення всіх вантажів. Ця умова відображується такою цільовою функцією:

Розподілити перевезення потрібно так, щоб вартість всього обсягу перевезень була мінімальною, тобто

, (10.9)

де L - цільова функція.

Таким чином, цільова функція і всі обмеження виражені лінійними залежностями.

З залежностей видно, що число невідомих, що потрібно визначити дорівнює шести, тоді як число рівнянь, що зв'язують ці невідомі, дорівнює п'яти: нерівності та рівності. Крім того, значення невідомих повинні бути знайдені так, щоб мінімізувати лінійну функцію.

Обмеження, що мають форму нерівностей, можна перетворити в рівності, якщо ввести фіктивний об'єкт робіт, на який і повинне бути сплановане вивезення решти запасу матеріалів обох кар'єрів.

Так як фактично перевезень на фіктивний об'єкт не буде, їх вартісні характеристики З₁₄ і З₂₄ повинні бути прийняті рівними нулю. При цьому значення лінійної форми не зазнає будь-яких змін від введення фіктивної дільниці.

Тепер обмеження набувають вигляду:

,

.

Крім того, з'являється додаткова умова

Х₁₄+Х₂₄= b₄ .

Завдяки додатковій умові (введення фіктивної ділянки 4) в принципі невизначена система рівнянь зводиться до визначеної.

В задачах лінійного програмування можуть зустрічатися три випадки:

1) система рівнянь не має невід’ємних розв’язків;

2) система має невід’ємні розв’язки, але екстремум лінійної форми, що виражає цільову функцію, дорівнює + або -;

3) значення екстремуму лінійної форми на множині невід’ємних розв’язків системи скінчене.

Для більшості задач характерний третій випадок. При розв’язанні транспортної задачі складається опорний план, що лише випадково може виявитися оптимальним, а в загальному випадку вимагає свого поліпшення до побудови оптимального плану перевезень.

Існує низка методів відшукання опорних планів: методи по мінімальних параметрів «у рядку», «у стовпці», «у масиві»; метод різниці мінімальних параметрів у рядку і стовпці; найчастіше застосовується метод «північно-західного кута».

Для оптимізації останнього опорного плану найбільше поширення отримав метод потенціалів. Суть методу полягає в тому, що кожна ітерація, що наближує початковий (опорний) план до оптимального, складається з двох етапів. На першому етапі план, отриманий в результаті попередньої ітерації, перевіряється на оптимальність. Якщо він виявився неоптимальним, то на другому етапі будується новий план, що зумовлює менші транспортні перевезення у порівнянні з попереднім планом.

При розв’язанні транспортної задачі необхідно враховувати наступні умови: обсяги постачань повинні дорівнювати обсягам споживання (відрядна умова); встановлені обмеження, що стосуються невід’ємних значень параметрів; чітко установлений вид цільової функції по мінімуму або по максимуму.

Питання для контролю знань:

1. Методи розв’язання задач лінійного програмування.

2. Порядок формулювання задач лінійного програмування.

3. Методи оптимізації опорних планів транспортної задачі.

4. Математична постановка задачі

5. Елементи моделі математичного програмування

6. Загальна форма запису задач лінійного програмування

Лекція № 11. Методи рішення транспортної задачі

Мета лекції – вивчення основних методів складання і оптимізації базисного плану

Питання:

1. Складання базисного плану за методом «північно-західного кута»

2. Складання базисного плану за методом подвійної переваги

3. Складання базисного плану за методом найменшого елемента

4 Оптимізація базисного плану

Вирішення транспортної задачі включає два етапи. На першому етапі складається певний варіант плану перевезень, який називається "базисним" планом, а на другому етапі цей план підлягає перевірці, тобто здійснюється "оптимізація базисного плану".

Під час складання базисного плану може бути використано один із нижченаведених методів:

1. метод північно-західного кута;

2. метод подвійної переваги;

3. метод найменшого елемента та ін.