3. Транспортна задача лінійного математичного програмування

1. Загальна постановка задачі математичного

програмування (ЗМП)

Вибір оптимальних рішень при вивченні реальних економічних процесів має ґрунтуватися на реальних операційних дослідженнях, а також побудові й розрахунку математичних моделей. Особливо це важливо, якщо досліджувана проблема досить складна й залежить від великої кількості чинників, що по різному впливають на її рішення. У цьому випадку використання математичних моделей дозволяє здійснити попередній вибір оптимальних або близьких до них варіантів рішень за визначеними критеріями. Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд:

. (10.1)

 

У структурі моделі можна виділити 3 елементи:

1) Набір керованих змінних x₁, x₂, ... x _n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустимі комбінації значень змінних відповідають можливим розв’язкам задачі.

2) Цільова функція z (x₁, x₂, ... x _n) - функція, що виражає залежність прийнятого критерію оптимальності від керованих змінних.

Критерій оптимальності є мірою наближення розв’язку до поставленої мети. В економічних задачах, як правило, таким критерієм виступає показник ефективності функціонування системи (наприклад, прибуток від реалізації продукції, продуктивність праці, таке інше) або показник витрат. Слід зазначити, що одній меті можуть відповідати декілька критеріїв оптимальності (багатокритеріальна задача); в цьому разі цільова функція має враховувати всі виділені критерії.

3) Умови або обмеження g (x₁, x₂, ... x _n), що накладаються на значення змінних або на співвідношення між ними.

Основними ознаками, за якими моделі математичного програмування поділяють на класи, є: характер функцій у складі моделі, тип змінних, врахування фактору часу та випадкових факторів 

В залежності від характеру функцій, що входять до складу моделі, задачі МП можуть бути лінійними або нелінійними. Якщо цільова функція і функції всіх обмежень моделює лінійними, то дана задача являє собою задачу лінійного програмування (ЗЛП). В інших випадках, якщо хоча б одна функція в складі моделі є нелінійною, маємо справу із задачею нелінійного програмування (ЗНЛП). Зазначимо, що для ЗЛП розроблені універсальний і ціла низка часткових методів розв’язання. Навпаки, лише незначна частина ЗНЛП (а саме, задачі опуклого програмування) може бути ефективно розв’язанана частковими методами. Оскільки в даному курсі будуть розглядатись тільки лінійні оптимізаційні моделі, то має сенс представити загальний вид задачі лінійного програмування, а саме:

Z= C₁x₁, C₂x₂, … C_nx_n→ max (min). (10.2)

2. Задача лінійного програмування як задача розподілу обмежених ресурсів

Зауважимо, що задача ЛП у багатьох випадках виявляється асоційованою із задачею розподільчого типу, яка спрямована на пошук найбільш вигідного способу розподілу обмежених ресурсів за декількома видами виробничої діяльності. У сформульованій вище задачі представлено п видів виробничої діяльності, інтенсивності використання котрих (шукані величини) складають x₁, x₂, … x_n .

Сутність лінійного програмування полягає у визначенні екстремуму лінійної функції кінцевого числа додаткових аргументів, пов'язаних між собою системою лінійних обмежень.

Для здійснення усіх видів виробничої діяльності є в наявності т видів ресурсів, можливі обсяги споживання яких обмежені значеннями b₁, b₂, …, b_m. Витрати і-го ресурсу на одиницю продукції j-го виду виробництва дорівнюють a_ij. Тому сума , яка являє собою загальний обсяг і-го ресурсу, що використовується n видами виробництва, не може перевищувати величини b_i.

Структура цільової функції z відбиває внесок кожного виду виробничої діяльності в загальний результат, У випадку максимізації величина C_j являє собою прибуток від j-го виду виробничої діяльності на одиницю відповідної продукції, а у випадку мінімізації C_j характеризує питомі витрати. Зауважимо, що «корисність» деякого виду виробничої діяльності не можна встановити тільки за значенням відповідного коефіцієнта цільової функції, оскільки обсяг споживання обмежених ресурсів також є важливим чинником. Оскільки усі види виробничої діяльності, подані в моделі, претендують на використання обмежених ресурсів, відносна корисність деякого виду виробництва (у порівнянні з іншими видами виробничої діяльності) залежить як від величини коефіцієнта цільової функції с_j, так і від інтенсивності споживання ресурсів a_ij. Тому можлива ситуація, коли через занадто великі витрати обмежених ресурсів деякий j-й вид виробничої діяльності, що характеризується високим прибутком, використовувати недоцільно (тобто в оптимальному розв’язку відповідна змінна виявиться небазисною).

Використання методів лінійного програмування для знаходження ефективного варіанту виробничого процесу пов'язано насамперед із правильним складанням виробничого процесу.

Існують два основних напрямки розв’язання задач лінійного програмування: універсальні та спеціальні методи. Універсальні методи: симплекс-метод, суть якого полягає в поступовому поліпшенні плану розв’язання задачі, що дозволяє з безлічі можливих варіантів вибрати найвигодніший за тими або іншими параметрами; метод розв’язувальних множників, що дозволяє розв’язати задачі шляхом пошуку оптимуму при поліпшенні початкового плану, що задовольняє цільовій функції та обмеженням.

До спеціальних методів належать: розподільний метод, метод потенціалів, метод диференціальних рент і графічний метод.

Формулювання задач лінійного програмування складається зі змістовної і математичної постановки задачі, а також інформаційного забезпечення.

Змістовна постановка задачі – це характеристика об'єкта або виробничого процесу.

Математична постановка задачі здійснюється в три етапи:

1) вибираються параметри, що досить повно описують суть виробництва (об'єкта);

2) визначається мета, що представляється у вигляді цільової функції, розв’язок якої необхідно знайти;

3) формально описуються можливі розв’язки за допомогою обмежень.

Інформаційне забезпечення задачі полягає в тому, що всім параметрам математичної моделі привласнюються конкретні значення.

Розглянемо особливості постановки задач лінійного програмування. Першою з цих особливостей є вираження цільової (економічної) функції, а також усіх обмежень задачі у формі лінійних залежностей (рівнянь або нерівностей).

Друга особливість полягає в тому, що число лінійних залежностей в задачі менше числа невідомих. Третьою особливістю є необхідна, звичайно, за змістом задач додатність змінних.

Загальна форма запису задач лінійного програмування з урахуванням вказаних їх особливостей така:

- цільова функція, що вимагає максимізації або мінімізації;

- обмеження в формі рівнянь або нерівностей. (10.3)