4.2. Момент силы относительно полюса (центра, точки)

Момент силы относительно полюса характеризует меру вращательной способности силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку. Так как он должен указывать направление оси возможного поворота, то это должен быть вектор.

О пределение: Моментом силы относительно полюса называется вектор (рис. 20), приложенный в полюсе, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через полюс и силу в ту сторону, откуда видно, что сила стремится вращать тело вокруг полюса против часовой стрелки, и равный по величине произведению величины силы на плечо. Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из полюса на линию действия силы.

Обозначение: . Читается так: момент силы относительно полюса . Величина момента . Так как плечо можно рассматривать как высоту треугольника , о можно сказать, что величина момента силы относительно полюса равна удвоенной площади треугольника

.

Заметим, что эта "площадь" будет измеряться в ньютоно-метрах, так как основание треугольника–сила, а высота–длина.

Основные свойства момента силы относительно полюса

1. Момент силы относительно полюса не изменяется, если силу переносить вдоль ее линии действия.

2. Если линия действия силы проходит через полюс, то момент силы относительно полюса равен нулю.

3. Сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса равна нулю.

Эти свойства легко проверяются.

4.4 Связь между моментами силы относительно полюса и оси

Теорема. Проекция момента силы относительно полюса на ось , проходящую через этот полюс, равна моменту силы относительно оси :

.

4.5. Главный момент системы сил

Определение. Главным моментом системы сил относительно полюса называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно этого полюса.

Обозначение: , или . Если задана система сил , то

.

Определение. Главным моментом системы сил относительно оси называется алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно этой оси.

Обозначение: , или

.

Теорема. Проекция главного момента системы сил относительно полюса на ось , проходящую через этот полюс, равна главному моменту сил системы относительно этой оси, то есть

.

4.7. Теорема Вариньона (частный случай)

Т еорема. Если две силы и их геометрическая сумма приложены в одной точке, то геометрическая сумма моментов этих двух сил относительно произвольного полюса равна моменту их геометрической суммы относительно того же полюса.

Дано: (рис. 25).

Доказать: .

Доказательство:

Исходя из представления момента силы относительно полюса через векторное произведение:

, .

Тогда

.

5. Элементарные операции статики. Эквивалентные системы сил

1. Элементарные операции статики

Пусть к твердому телу приложена система сил . Элементарными операциями статики называют следующие четыре операции над силами:

1. Добавление к системе сил двух прямопротивоположных сил.

2. Отбрасывание от системы сил двух прямопротивоположных сил (если таковые имеются).

3. Замена двух сил (в системе ), приложенных к одной точке (если таковые имеются) одной силой, равной их геометрической сумме и приложенной к этой же точке ( коротко: замена двух сил, приложенных к одной точке, одной силой по правилу параллелограмма).

4. Замена любой силы системы двумя составляющими силами, полученными путем разложения этой силы по правилу параллелограмма.

Первое свойство элементарных операций (физическое свойство).

Элементарные операции над силами, приложенными к твердому телу, не нарушают состояние равновесия тела.

Справедливость этого свойства следует из 2-й и 3-й аксиом статики.

Второе свойство элементарных операций (геометрическое свойство)

Элементарные операции над силами не изменяют главный вектор и главный момент системы сил.

Неизменность главного вектора проверяется непосредственно путем анализа влияния каждой элементарной операции на геометрическую сумму векторов сил системы.

Добавление либо отбрасывание двух прямопротивоположных сил не изменяет главный момент системы сил относительно полюса потому, что сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса равна нулю.

Замена по правилу параллелограмма двух сил, приложенных к одной точке, их геометрической суммой, либо замена одной силы ее двумя составляющими, не изменяют главный момент системы сил вокруг полюса по теореме Вариньона (частный случай).