1.7. Дійсні числа

Дійсні числа представляють значення різних величин при математичних обчисленнях. Цим і визначається їх застосування в алгоритмах рішення різного роду обчислювальних задач. До елементарних операцій виконавця звичайно відносять арифметичні і логічні операції, а також операції обчислення деяких математичних функцій.

Принципово важливою особливістю дійсних чисел є те, що вони представляють наближені значення величин і всі операції над ними слід вважати наближеними.

У записі алгоритмів прийнято використовувати дійсні числа в десятковій системі числення. Допускається запис чисел як у виді десяткових дробів (форма представлення з фіксованою точкою), так і у формі з плаваючою точкою.

Арифметичні операції:

a + b – операція додавання

a - b – операція віднімання,

- b – операція «мінус»;

a*b – операція множення,

a / b – операція ділення.

Логічні операції: (див. Цілі числа).

Математичні функції

Взагалі кажучи, задача наближеного обчислення значення деякої математичної функції (наприклад, сінуса) не є елементарною. Її, як правило, не можна вирішити за допомогою алгоритму, подібного до алгоритму додавання дробів, тобто виконуючи фіксоване число арифметичних дій над цілими числами. Тому спеціалізований виконавець, орієнтований на математичні розрахунки, „знає” алгоритми наближеного обчислення деякого набору математичних функцій. До їх числа, як правило, входять такі елементарні функції, як sin(x), cos(x), ln(x), arctg(x), exp(x), sqrt(x), функції округлення, виділення цілої і дробової частини.

Розглянемо кілька обчислювальних алгоритмів.

Задача 1.4. Побудувати математичну модель і скласти програму обчислень координат матеріальної точки, кинутої з початковою швидкістю V₀ у напрямку вектора а = (X₀,Y₀) у момент часу t.

Рішення.

Як відомо з фізики, матеріальна точка М, кинута в деякому напрямку, рухалася б рівномірно і прямолінійно, якби не сила тяжіння, що діє на точку і спрямована вертикально вниз. Тому

x = t*V₀*Cos(Alfa)

y = t*V₀*Sin(Alfa) – g*t²/2

Проекції одиничного вектора напрямку на координатні осі обчислюються за формулами:

Cos(Alfa) = x₀/sqrt(x₀² + y₀²)

Sin(Alfa) = y₀/sqrt(x₀² + y₀²)

Тому

x = V₀*t *x₀/sqrt(x₀² + y₀²)

y = V₀*t*y₀/sqrt(x₀² + y₀²) – g*t²/2

Ці формули вирішують математично поставлену задачу, тобто представляють її математичну модель. Програміст, реалізуючи відповідний алгоритм, повинен подбати про економію ресурсів виконавця. Простіше кажучи, він має так розписати обчислення, щоб виконавець не робив ту саму роботу двічі. У нашому випадку це досягається попереднім обчисленням значення виразу V₀/sqrt(x₀² + y₀²), що входить у кожну з формул.

A = V₀/sqrt(x₀*x₀ + y₀*y₀)

x = A*t*x₀

y = A*t*y₀ – g*t²/2

Наступне спрощення менш очевидне. Якщо у виразі для y винести за дужки t, однією операцією множення стане менше.

A*t*y₀ – g*t²/2 = (A*y₀ – g*t /2)*t

Турбота про економію ресурсів виконавця приводить до наступної послідовності обчислень:

A = V₀/sqrt(x₀*x₀ + y₀*y₀)

x = A*t*x₀

y = (A*y₀ – g*t /2)*t

Алгоритм Рух точки;

Вхід

V₀, x₀, y₀, t: Дійсні числа;

Вихід

x, y: Дісні числа;

Константа

G = 9.8;

Допоміжна величина

A: Дійсне число;

Початок

Обчислити A = V₀/sqrt(x₀*x₀ + y₀*y₀);

Обчислити x = A*t*x₀;

Обчислити y = (A*y₀ – g*t /2)*t

Кінець.

В текст алгоритму включений розділ, у якому приведене ім'я і чисельне значення константи всесвітнього тяжіння. Константи є допоміжними величинами особливого роду. Константи не змінюють свого значення в процесі виконання алгоритму. Їх імена і значення визначаються в самому алгоритмі. Команди алгоритму замість значень констант використовують їх імена.

Задача 1.5. Скласти алгоритм, що обчислює першу цифру числа aⁿ (a – дійсне число, n – натуральне число.)

Рішення.

Дано: позитивне дійсне число a і натуральне число n. Знайти: натуральне число z.

Ідея рішення полягає в наступному: для того, щоб обчислити aⁿ, знайдемо десятковий логарифм числа a, помножимо його на n, а потім пропотенцюємо результат по основі 10.

x = lg(a), y = n*x, z = 10^y

Згадаємо тепер, що ціла частина числа y – це порядок числа z, а дробова частина, називана також мантисою, визначає значення z, тобто його представлення у виді послідовності цифр. Тому, якщо виділити дробову частину y і пропотенціювати результат, ми одержимо число z1, розташоване між 1 і 10 (1 <= z1 < 10), перша цифра якого дорівнює шуканій.

x = lg(a), y = n*x, y = Frac(y), z₁ = 10^y , z = Int(z₁)

Алгоритм Перша цифра степеня;

Вхід

A: Дійсне число;

N: Натуральне число;

Вихід

Z: Натуральне число;

Допоміжна величина

y: Дійсне число;

Початок

Обчислити y = lg(a);

Обчислити y = n*y;

Обчислити y = Frac(y);

Обчислити y = Pow(y, 10);

Обчислити z = Int(y)

Кінець.

Складаючи алгоритм, ми знову турбуємося про економію ресурсів виконавця. Цього разу ми заощаджували пам'ять: величина y використо­ву­валося як місце збереження результатів проміжних обчислень.

В алгоритмі були використані функції:

Lg(x) – десятковий логарифм x;

Frac(x) – дробова частина

Int(x) – ціла частина

Pow(x, n) – x у ступені n.

Система команд виконавця повинна бути постачена алгоритмами обчислення цих функцій.

Задача 1.6. Багаточлени F(x) = a*x + b і G(x) = c*x + d задані своїми коефіцієнтами. Скласти алгоритм обчислення коефіцієнтів багаточлена H(x) = F(x)*G(x).

Рішення.

Коефіцієнти багаточлена F(x) легко обчислити: перемножимо двочлени F(x) і G(x) і згрупуємо коефіцієнти при x2, x і вільний член.

(a*x + b)*(c*x + d) = (a*c)*x² +(b*c + a*d)*x +(b*d)

Звідси u = a*c, v = b*c + a*d, w = b*d. Команди алгоритму:

Початок

Обчислити u = a*c,

Обчислити v = b*c + a*d,

Обчислити w = b*d.

Кінець.

Виконавець має виконати 4 множення і 1 додавання. Зауважимо, що множення – це більш складна операція, ніж додавання. Для її виконання потрібно більше часу. Тому для прискорення роботи алгоритмів кількість множень в обчисленнях прагнуть зробити мінімальною.

Задача, що ми вирішуємо, є класичним прикладом неочевидної можливості такого прискорення. Виявляється, обчислити u, v, w можна, застосувавши тільки 3 множення.

Початок

Обчислити u = a*c,

Обчислити w = b*d,

Обчислити p = (a + b)*(c + d),

Обчислити v = p – u - w

Кінець.

Одним множенням стало менше за рахунок появи додатково 3-х адитивних операцій.