10.7.* Метод цифрового сортування

Іноді при розв’язані задачі типу задачі сортування можна використовувати особливості типу даних, що перетворюються, для отримання ефективного алгоритму. Розглянемо одну з таких задач – задачу про обернення підстановки.

Підстановкою множини 1..n назвемо двомірний масив A[1..2, 1..n] виду

1	2	..........	n-1	n
j1	j2	...........	j n-1	j n

в якому 2-ий рядок містить всі елементи відрізка 1. .n. Підстановка B називається оберненою до підстановки A, якщо B отримується з A сортуванням стовпців A у порядку зростання елементів 2-ого рядка з наступною перестановкою рядків. Треба побудувати алгоритм обчислення оберненої підстановки. З визначення випливає, що стовпець [i, j_i] підстановки A треба перетворити в стовпець [j_i , i] і поставити на j_i-те місце в підстановці B.

{

Type

NumSet = 1..n;

Substitution = array[ 1..2, NumSet] of NumSet;

}

Procedure Reverse ( Var A, B : Substitution);

Begin

For i := 1 to n do begin

B[A[2, i], 2] := i;

B[A[2, i], 1] := A[2, i]

end

End;

Складність процедури Reverse лінійна, оскільки тіло арифметичного циклу складається з двох операторів присвоювання. Між тим стовпці підстановки відсортовані.

Аналогічна ідея використовується в так званому сортуванні вичерпуванням (або цифровому сортуванні), що застосовується для сортування послідовностей слів (багаторозрядних чисел). Для кожної букви алфавіту алгоритм створює структуру даних “черпак”, в яку пересилаються слова, що починаються на цю букву. В результаті перегляду послідовність виявляється відсортованою по першій букві. Далі алгоритм застосовують рекурсивно до кожного “черпака”, сортуючи його по наступним буквах.

10.8. Задачі і вправи

1.Дано масив А[1..900] of 1..999. Знайти трьохзначне число, що не знаходиться у цьому масиві. Розглянути два варіанта задачі:

а) Допоміжні масиви в алгоритмі не використовуються;

б) Використання допоміжних масивів дозволено.

2.Реалізувати алгоритм TreeSort, застосувавши метод вкладення дерева в масив. Для цього використати допоміжний масив В.

3.Реалізувати ітеративну версію алгоритму HeapSort:

а)Замінити рекурсію в процедурі SortTree арифметичним циклом For...downto, що оброблює дерево за рівнями, починаючи з нижнього;

б)Замінити рекурсію в процедурі Conflict ітераційним циклом, керуючим змінною i. { i := 2i або i := 2i + 1 }.

4.Реалізувати ітеративну версію алгоритму процедури HoareSeach, замінивши рекурсію ітераційним циклом.

5-6. Застосувати для розв’язку задач 1-2 параграфа 8 ідею Хоара.

7.Реалізувати алгоритм “тернарного” пошуку елемента в упорядкованому масиві, поділяючи ділянку пошуку на 3 приблизно рівні частини. Оцінити складність алгоритму у термінах С (n). Порівняти ефективності бінарного і тернарного пошуку.

8.Реалізувати алгоритм пошуку максимального і мінімального елементів у масиві (процедура MaxMin) для довільного n.

9.Нехай A[1..n] - масив цілих чисел, упорядкований за зростанням (A[i] < A[i+1]). Реалізувати алгоритм пошуку такого номера і, що A[i]= і методом “розділяй і володій”. Оцінити складність алгоритму.

10-12. Застосувати для розв’язку задач 3-5 параграфа 8 метод “розділяй і володій”.

13.Реалізувати алгоритм процедури Reverse “на місці”, формуючи обернену підстановку в масиві А.

Задачі обчислювальної геометрії.

14. Дано набір з n точок площини, заданих координатами A₁(X₁, Y₁), A₂(X₂, Y₂) , ..., A_n(X_n, Y_n). Знайти таку точку S(X, Y) на площині, сума відстаней від якої до даних точок набору найменша. Проілюструвати розв’язок на малюнку.

15. Дано набір з n точок площини, заданих координатами: A₁(X₁, Y₁), A₂(X₂, Y₂), ..., A_n(X_n, Y_n). Вибрати з цього набору точки, що знаходяться в вершинах випуклого багатокутника найменшої площини і який містить всі точки набору. Проілюструвати розв’язок на малюнку.

16. Дано набір з n точок площини, заданих координатами: A₁(X₁, Y₁), A₂(X₂, Y₂), ..., A_n(X_n, Y_n). Побудувати коло найменшого діаметра, який містить всі точки набору. Проілюструвати розв’язок на малюнку.

17. Дано набір з n точок площини, заданих координатами: A₁(X₁, Y₁), A₂(X₂, Y₂), ..., A_n(X_n, Y_n). Побудувати прямокутник найменшої площини, який містить всі точки набору. Проілюструвати розв’язок на малюнку.

18. Випуклий n-кутник заданий набором вершин

A₁(X₁, Y₁), A₂(X₂, Y₂), ..., A_n(X_n, Y_n).

Розбиття цього багатокутника на трикутники діагоналями, що не перетинаються називається тріангуляція. Вартістю тріангуляції називається сума довжин діагоналей розбиття. Знайти тріангуляцію багатокутника найменшої вартості. Проілюструвати розв’язок на малюнку.