9.3. Переваги і недоліки рекурсивних алгоритмів

Розглянуті приклади показують, що застосування рекурсивних означень само по собі не приводить до хороших розв’язків задач. Так, задачі прикладів 9.1, 9.3, 9.6 допускають більш ефективні і достатньо прості ітеративні розв’язки. У прикладі 9.1 це продемонстровано особливо наочно. У прикладах рекурсія моделює простий цикл, який витрачає час на обчислення, що пов’язані з керуванням рекурсивними викликами і пам’ять на динамічне збереження даних. Ми вже розглядали ітеративну версію метода ділення навпіл в інших прикладах.

Безсумнівним достоїнством алгоритмів з прикладів 9.1, 9.3, 9.6 є їх простота і обгрунтованість. При програмуванні ми по-суті одночасно обгрунтовували правильність алгоритму. У прикладах 9.2, 9.5, 9.7 розглядались комбінаторні задачі, розв’язки яких не зводяться до простого застосування циклу, а потребують перебору варіантів, природнім чином, що керується рекурсивно. Ітеративні версії розв’язків цих задач складніші по управлінню. Можна сказати, що основна обчислювальна складність комбінаторної задачі полягає не в реалізації алгоритму її розв’язку, а в самому методі розв’язку.

Пізніше ми побачимо, як рекурсія в поєднанні з іншими методами використовується для побудови ефективних програм.

9.4. Задачі і вправи

Вправа І.

1. Опишіть процедуру пошуку найбільшого і найменшого елементів у масиві. За допомогою цієї процедури складіть програму, що визначає, чи співпадають найбільший і найменший елементи двох масивів А [1..n] і В [1..n].

2. Опишіть процедури пошуку середнього за величиною елемента у масиві А [1..2n+1] і середнє арифметичне елементів цього масиву. За допомогою цих процедур складіть програму, яка порівнює середнє за величиною і середнє арифметичне у масиві А [1..99].

3. Опишіть процедуру пошуку найбільшого і найменшого елементів у масиві А[1..n]. За допомогою цієї процедури складіть програму, що визначає координати вершин найменшого прямокутника зі сторонами, паралельними осям координат, який містить в собі множину точок Т₁(X₁,Y₁), ... , T_n(X_n,Y_n).

4. Опишіть процедуру перевірки розкладення натурального числа в суму двох квадратів. Складіть програму, яка вибирає з даного масиву ті і тільки ті числа, які розкладаються в суму двох квадратів.

5. Опишіть функцію перевірки простоти числа. Опишіть функцію перевірки числа на розкладність в суму виду 1+2^а. Складіть програму, яка вибирає з даного масиву чисел ті і тільки ті його елементи, які задовольняють обом властивостям.

6. Опишіть процедуру перетворення цілого числа з десяткової системи в p-ічну систему числення. Опишіть процедуру перетворення правильного десяткового дробу в p-ічний з заданою кількістю розрядів. Складіть програму перетворення довільного дійсного числа з 10-вої в p-ічну систему числення.

7. Опишіть процедуру пошуку найменшого елемента в рядку матриці. Опишіть функцію перевірки на максимальність даного елемента в стовпці матриці. Складіть програму пошуку сідлової точки матриці.

Вправи II.

1.Опишіть функцію f(x) - найбільший власний дільник числа х. Складіть програму пошуку всіх власних дільників числа N.

2.Опишіть функцію y = arcsin(x). Складіть програму розв’язку рівняння sin(ax+b) = c.

3.Опишіть функцію f(x) = max (t*sin(t)).

t  [0,x]

Складіть Програму табулювання функції f(x) на відрізку [a,b].

4.Опишіть функцію f(x) - число, яке отримується з натурального числа x пере­становкою цифр у зворотному порядку. Складіть програму, яка роздруковує симетричні числа з масиву натуральних чисел.

Задачі.

1.Перечислити всі вибірки по K елементів у масиві A з N елементів. Масив містить перші N натуральних чисел: A[i] = i. Знайти їх кількість і оцінити складність алгоритму.

2.Перечислити всі підмножини множини (масиву A) з задачі 1. Знайти їх кількість і оцінити складність алгоритму.

3.Дано масив A[1..n] цілих додатних чисел і ціле число b. Перечислити всі набори індексів j1, j2, ..., jk такі, що A[j1] + A[j2] + ... + A[jk] = b. Оцінити складність алгоритму.

4.Дано масив A[1..n] цілих чисел і ціле число b. Перечислити всі набори індексів j1, j2, ... , jk такі, що A[j1] + A[j2] + ... + A[jk] = b. Оцінити складність алгоритму.

5.Відома в теорії алгоритмів функція Акермана А(x, y) визначена на множні натуральних чисел рекурсивно:

A(0, y) = y + 1,

A(x, 0) = A(x - 1, 1),

A(x, y) = A(x - 1, A(x, y - 1));

a)Опишіть функції A(1, y), A(2, y), A(3, y), A(4, y) явним чином;

б)Реалізуйте рекурсивну програму обчислення A(x, y);

в) Реалізуйте програму обчислення A(x, y) без рекурсії.