9.2. Приклади рекурсивних описів процедур і функцій
Декілька прикладів рекурсивних процедур, розглянутих у цьому пункті, допоможуть кращому засвоєнню техніки застосування рекурсії. Ми також побачимо переваги і недоліки рекурсивних описів.
Приклад 9.3. Повернені послідовності.
Розглянемо послідовність V(n), що задана рекурентно:
1.V(0) = V0, V(1) = V1, ..., V(k) = Vk;
2.V(n+k) = F( V(n+k-1), ... V(n+1), V(n), n )
Таке визначення задає послідовність V(n) фіксуванням перших її декількох членів і функції F, що обчислює кожний наступний член, виходячи з попередніх. Рекурентне визначення “дослівно переводиться” в функцію, що обчислюється рекурсивно:
Function V(n: Integer) : Integer;
Begin
Case n of
0: V := V0;
. . . . .
k: V := Vk
else V := F(V(n+k-1), ... V(n+1), V(n), n)
end
End;
Один з прикладів повернених послідовностей – послідовність Фібоначчі, програму обчислення якої ми вже розглядали. Ось її рекурсивна версія:
Function RF(n: Integer) : Integer;
Begin
Case n of
0,1: RF := 1
else RF := RF(n-1) + RF(n-2)
end
End;
Нажаль, це рішення вкрай неефективне: Можна довести, що
Tr f (n) > 2 n-2 при n>5.
Таким чином, складність обчислення RF(n) експоненціальна. Складність же ітеративного алгоритму обчислення Fib лінійна. У загальному випадку ситуація точно така ж: можна побудувати ітеративний алгоритм обчислення поверненої послідовності лінійної складності, рекурсивна ж версія при k>=1 має експоненціальну складність.
Приклад 9.4. Ханойські башти
Класичний приклад застосування рекурсії для описання ефективного алгоритму – задача про ханойські башти. На перший з трьох стержнів, закріплених вертикально на підставці, насаджено декілька кілець різних діаметрів так, що кільце меншого діаметра лежить на кільці великого діаметра. Два інших стержня порожні (рис. 9.1).
У задачі треба переставити всі кільця з 1-го стержня на 2-ий за декілька кроків. Кожний крок – це перестановка верхнього кільця одного стержня на верхнє кільце іншого стержня з дотриманням правила: діаметр кільця, що переставляється повинен бути менше, ніж діаметр кільця, на яке здійснюється перестановка.
Рис. 9.1
Нехай N – кількість кілець на стержні, І – номер кільця, з якого здійснюється перестановка і J – номер кільця, на який кільця треба переставити. Змінні N,I,J - параметри процедури HanojTower, керуючої перестановками. Крок розв’язку – процедура Step з параметрами I, J.
HanojTower (N,I,J) - процедура, що переставляє N кілець з I-того стержня на J-тий.
Step (I, J) - процедура , що переставляє 1-не кільце з I-того стержня на J-тий.
Відмітимо, що якщо I і J - номера 2-стержней, то 6-I-J - номер третього стержня.
Припустимо, що ми перемістили N-1 кільце з I-того стержня на 6-I-J стержень. (рис. 9.2)
Рис. 9.2
(n-1)
кільце
I стержень j стержень 6-I-j стержень
Тоді можна перемістити кільце з стержня I на J. (рис. 9.3)
Рис. 9.3
1 кільце