8.6. Задачі і вправи

1. Визначити число членів нескінченного ряду чисел, необхідне для обчислення його суми з точністю .



а.  [(-1)ⁿ /(2n+1)] = /4

n=0



б.  [(-1)ⁿ/(2n)!] = cos 1

n=0



в.  [(-1)ⁿ/(2n+1)!] = sin 1

n=0

2. Знайти суму членів ряду з заданою похибкою .



а. sin x =  (-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹)/(2n+1)!

n=0



б. ln x =  (-1)ⁿ*xⁿ / n; x>1/2

n=1



в. arctg x =  (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1); |x|<1

n=0

3. Знайти всі трьохзначні члени послідовності Fn, визначеної рекурентними співвідношеннями:

а. F₀ = 1, F₁ = 1,

F_n+2 = F_n+1 + F_n при n > 0

б. F₀ = 5, F₁ = 1, F₂ = 1,

F_n+3 = F_n+2 + F_n+1 - F_n при n > 0

4. Дано раціональне число p/q. Побудувати його розклад у ланцюговий дріб.

5. Побудувати розклад натурального числа N у добуток степенів його простих дільників.

6. Перевести ціле число N у 2-ічну систему числення. Узагальнити алгоритм на випадок p-ічної системи числення.

7. Відомо, що якщо d = НСД(a,b), то існують такі числа u, v, що d = au + bv. По даним a, b знайти d, u, v.

8. Число N називається досконалим, якщо воно співпадає з сумою своїх власних дільників. (Наприклад, 6=1+2+3). Знайти всі досконалі числа, які не перевищують М.

9. Знайти номер найменшого числа Фібоначчі, що закінчується 2-ма нулями. Знайти саме це число.

10. Дано масив A[1..n] дійсних чисел. Знайти у цьому масиві найменше додатне число.

11. Дано масив A[1..n] цілих чисел. Знайти в цьому масиві найбільшу кількість нулів, що йдуть підряд.

12. Дано масив A[1..n] цілих чисел. Відрізок індексів k .. m називається відрізком росту масиву, якщо A[k] < A[k+1] < ... < A[m]. Знайти відрізок росту максимальної довжини.

13. Масив A[1..n] складається з даних типу Color = (white, black). Скласти програму сортування масиву A, яка перевіряє значення (колір) кожного елемента тільки один раз.

14. Масив A[1..n] складається з даних типу Color = (white, red, black). Скласти програму сортування масиву A, яка перевіряє значення (колір) кожного елемента тільки один раз.

15. Масив A[1..n] складається з дійсних чисел, причому для будь-якого 2  i  n-1 виконана нерівність A[i]  (A[i-1] + A[i+1])/2 Скласти програму пошуку найменшого і найбільшого елементів масиву, складність якої C(n) = O(log2(n))

16. Задані упорядковані масиви A[1..n] і B[1..m] цілих чисел і ціле число C. Скласти програму пошуку таких індексів i і j, що C = A[i] + B[j], складність якої C(n) = O(log2(n m))

17. Множина точок площини {Ai = ( Xi, Yi )} задана масивами координат X[1..n] і Y[1..n]. Випуклою лінійною оболонкою цієї множини називається така його підмножина В, що багатокутник з вершинами в точках з В є випуклими і містить всю множину А. Скласти програму пошуку випуклої лінійної оболонки множини А. Оцінити її складність.