4.11. Приклад лінійної програми

Приклад 4.1. Програма обчислення площі кола, вписаного у трикутник і площі кола, описаного навколо трикутника.

Program Triangle; {програма обчислює площі, вписаного в трикутник і описаного навколо трикутника кіл}

Const

Pi = 3.1415926;

Line = ‘_______________________________’;

Var

a, b, c : Real;

Sint, Sout : Real;

S, p : Real;

Begin

{ введення даних}

Write(‘ введіть сторони трикутника a b c ‘);

Readln(a, b, c);

{обчислення }

p := (a + b + c)/2;

S := Sqrt(p*(p - a)*(p - b)*(p - c));

Sout := Pi*sqrt(a*b*c/4/S);

Sint := Pi*sqrt(2*S/p);

{друк відповіді}

Writeln;

Writeln (Line);

Writeln(‘Sвпис = ‘, Sout);

Writeln(Line);

Writeln(‘Sопис = ‘, Sint);

Writeln(Line)

End .

Оператори Readln і Writeln можуть застосовуватись без параметрів (тобто без дужок та тексту у дужках), для переходу до введення/ виведення з наступного рядка або для пропускання рядка.

Для оформлення введення в операторах Write, Writeln можна використовувати рядок. Наприклад:

writeln(‘***’, ‘ площа вписаного кола = ‘, sint, ‘***’).

Текст програми може містити коментарії. Коментарій – це деякий текст, який стоїть у фігурних дужках. Коментарії використовують для пояснень, необхідних для кращого розуміння програми. Добре прокоментована програма – ознака кваліфікації і сумлінності програміста.

Особливу увагу треба звертати на проектування введення/ виведення. У професіональних програмах це одна з найбільш важливих проблем. Тут треба виділити наступні аспекти:

• Захист програми від помилок користувача при введенні даних;

• Орієнтація на користувача, який не ознайомлений з програмою – введення/ виведення в режимі дружелюбного діалогу.

4.12. Поняття складності виразу. Оптимізація обчислень

Основний критерій якості програми – її правильність. Строге математичне поняття правильності програми виходить за рамки нашого розгляду. Припустимо, що наші програми виконують саме ті дії, яких ми від них чекаємо.

У цьому припущенні критеріями якості програми є, наприклад, її розмір, об’єм пам’яті, що відведений під дані, швидкість виконання, і т.і.

Швидкість виконання програми, що не розгалужується, визначається кількістю обчислень, які необхідні для отримання значень виразів, що містяться в операторах присвоювання і операторах виведення.

Кількість обчислень, необхідних для отримання значення виразу, будемо називати його складністю. Розглянемо приклад:

U := X*Cos(Alfa) + Y*Sin(Alfa) (1)

V := Y*Cos(Alfa) - X*Sin(Alfa) (2)

Для обчислення значення U необхідно виконати два обчислення значення тригонометричної функції, два множення й одне додавання. Це і є мірою складності правої частини оператора (1). Права частина оператора (2) має ту саму складність, що і оператора (1). Зрозуміло, швидкість обчислень значень елементарних функцій, операцій множення і додавання різні і залежать від реалізації мови програмування. Однак реально припускати, що швидкості обчислень всіх елементарних трансцендентних функцій тотожні між собою, швидкості виконання мультиплікативних операцій тотожні, і швидкості виконання адитивних операцій також тотожні.

Хай T_f, T_m і T_a - час обчислення відповідно функцій, множення і додавання, а T(U) - час обчислення значення U. Тоді

T(U) = 2T_f + 2T_m + T_a, T(V) = T(U) (3)

Час обчислення значення виразу і є мірою його складності. Зрозуміло, що програміст повинен турбуватись про зменшення складності виразів, що входять в програму. Для цього використовують:

а)Тотожні перетворення, що зменшують складність;

б) Попередні обчислення спільних підвиразів;

Приклади:

U := 4*Sin(X)*Cos(X) + 3 <==>

U := 2*Sin(2*X) + 3 <==>

U := Sin(X)^2 - 3*Sin(X) + 2 <==>

U := (Sin(X) - 2)*(Sin(X) - 1) <==>

Y := Sin(X); U := (Y - 2)*(Y - 1)

Між величинами T_f, T_m і T_a існують співвідношення

T_f >> T_m > T_a (4)

які при програмуванні обчислень не можна ігнорувати. Тому особливу увагу треба приділяти зменшенню кількості обчислень трансцендентних функцій, кількості множень та ділень.

Наступний приклад визначає оптимальну форму запису полінома для задачі обчислення його значення.

Приклад 4.2 (Схема Горнера)

Обчислити значення Y = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃;

Оскільки операції піднесення до степеня у мові немає, можна замінити його множеннями:

Y = a₀*x*x*x + a₁*x*x + a₂*x + a₃;

У цьому варіанті T(Y) = 6T_m + 3T_а;

Якщо виносити х за дужки там, де це можливо, отримаємо:

Y = ((a₀x + a₁)x + a₂)x + a₃;

T(Y) = 3T_m + 3T_а {Схема Горнера}.

Відомо, що схема Горнера обчислення багаточлена є оптимальною.