9.4. Уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращение ТТ вокруг неподвижной оси . Подставляя выражение (9.9) для момента импульса тела относительно оси в уравнение (7.11), получим:

. (9.18)

Это равенство называется уравнением динамики вращения ТТ вокруг неподвижной оси. Для вращающегося тела уравнение (9.18) является аналогом второго закона Ньютона, относящегося к одной материальной точке. Имеют место и формальные аналогии:

момент инерции тела - масса частицы;

угловое ускорение тела - ускорение частицы;

момент относительно оси действующих на тело сил - сила, действующая на частицу.

Уравнение (9.18) позволяет понять физический смысл момента инерции. Можно сказать, что момент инерции тела является мерой инертности этого тела по отношению к его вращению. Действительно, если на два разных тела, каждое из которых вращается вокруг неподвижной оси, действуют одинаковые моменты сил, то модуль углового ускорения меньше у того тела, у которого больше момент инерции.

Пример 9.7. Блок в виде диска массы и радиуса может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси , рис. 9.8. На блок намотана невесомая и нерастяжимая нить, один ее конец закреплен на блоке, а к другому прикреплен груз массы . С каким ускорением будет опускаться груз?

Рис. 9.8.

В задаче участвуют два тела - поступательно движущийся груз и вращающийся диск. Сила натяжения нити действует как на груз, так и на диск. Поступательное движение груза определяется вторым законом Ньютона:

. (9.19)

(Очевидно, что сила тяжести больше силы натяжения нити, иначе груз двигался бы с ускорением вверх). Вращение диска описывается уравнением (9.18). На диск действуют сила тяжести , приложенная к центру масс диска, и сила реакции оси. Моменты этих сил относительно оси равны нулю, так как равны нулю их плечи. На диск действует также сила натяжения нити, момент которой относительно оси вращения равен по абсолютной величине произведению силы на её плечо , см. формулу (7.3). При выбранном положительном направлении оси вращения (см. рис. 9.8) , поэтому . Учитывая, что момент инерции диска , получим из (9.18):

. (9.20)

Из (9.20) следует, что угловое ускорение диска . Тангенциальное ускорение точек диска, лежащих у края диска, равно:

.

Груз и диск движутся не независимо друг от друга. Ввиду нерастяжимости нити ускорение груза равно ускорению любой точки свисающей части нити, а значит, ускорению нити в точке , которое равно ввиду отсутствия "проскальзывания" нити по диску. Таким образом,

. (9.21)

Из (9.21), (9.20), (9.19) находим:

,

. (9.22)

Невесомость нити неявно учитывалась при решении задачи дважды: во-первых, мы считали массу диска с намотанной нитью равной массе самого диска; во-вторых, натяжение нити в разных местах (вблизи груза и в точке ) можно считать одинаковым лишь при условии невесомости нити.

Отметим, что при решении задач рассуждения проводятся обычно не так подробно, как в рассмотренном выше примере. В частности, опускаются обычно ссылки на невесомость и нерастяжимость нитей, рассуждения о положительности или отрицательности угловых ускорений и моментов сил относительно осей и т.д.

Пример 9.8. На краю стола укреплен блок в виде диска массы и радиуса , вращающийся без трения вокруг оси, рис. 9.9. Через блок перекинута нить, к которой прикреплены брусок массы , скользящий без трения по поверхности стола, и свисающий груз массы . Вычислим ускорение, с которым будет опускаться груз без проскальзывания нити по блоку.

Рис. 9.9.

Применим к грузу и бруску 2-й закон Ньютона, учитывая при этом, что ускорения бруска и груза одинаковы, . Получим:

, (9.23)

. (9.24)

На диск действует момент сил . Применяя уравнение (9.18), получим:

. (9.25)

Ввиду отсутствия проскальзывания нити по диску тангенциальное ускорение края диска равно ускорению ,

. (9.26)

Решая систему уравнений (9.23) - (9.26), после исключения неизвестных , и получим:

.

Задача 9.4. Через блок массы и радиуса перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами и , . Проскальзывание нити по блоку отсутствует. Найти ускорение, с которым опускается груз .

Ответ: .

Задача 9.5. Решить задачу, рассмотренную в примере 9.8, считая, что между бруском и поверхностью стола имеет место трение, коэффициент трения достаточно мал, .

Ответ: .