9.3. Главные оси тела

Рассмотрим две одинаковые частицы и , вращающиеся по окружности с одинаковыми угловыми скоростями и расположенные на ней диаметрально противоположно, рис. 9.6.

Рис. 9.6.

Вычисляя моменты импульса и частиц относительно начала , расположенного на оси вращения , аналогично тому, как это было сделано в примере 9.1, и откладывая графические изображения векторов и от начала , получим, что эти векторы лежат в одной плоскости с прямой , соединяющей частицы. Поскольку и углы, образуемые векторами и с осью , равны друг другу, то полный момент импульса системы двух частиц направлен вдоль оси вращения.

Рис. 9.7.

Любое осесимметричное тело, например, изображенное на рис. 9.7, можно рассматривать как совокупность пар частиц, расположенных симметрично относительно оси симметрии . Момент импульса каждой пары частиц направлен вдоль оси , следовательно, момент импульса всего тела также направлен вдоль этой оси. Умножая (9.9) на орт оси и учитывая (9.1), а также то, что , получим для осесимметричного тела:

. (9.17)

Итак, вычисленный относительно любого начала , лежащего на оси симметрии, момент импульса осесимметричного тела, вращающегося вокруг этой оси, направлен вдоль нее.

Тело, изображенное на рис. 9.7, имеет, кроме оси , оси симметрии и . Если бы тело вращалось, например, вокруг оси , то его момент импульса относительно любого начала, лежащего на оси , был бы направлен вдоль этой оси,

,

где - вектор угловой скорости вращения тела вокруг оси , -его момент инерции относительно этой оси.

Если момент импульса ТТ, вращающегося вокруг некоторой оси, проходящей через его центр масс, определяемый относительно любого начала, расположенного на этой оси, направлен вдоль неё, то такая ось называется главной осью тела. Оси симметрии тела являются его главными осями. Можно, однако, доказать, что не только осесимметричное, но и любое твердое тело имеет по крайней мере одну тройку взаимно перпендикулярных главных осей, пересекающихся в центре масс тела и жестко связанных с телом. Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции. При вращении ТТ вокруг какой-либо главной оси момент импульса тела, определяемый относительно любого начала, лежащего на этой оси, выражается по формуле (9.17).

Если твердое тело вращается вокруг оси, не являющейся главной, то при произвольном выборе начала на оси вектор момента импульса не направлен вдоль оси вращения и не параллелен вектору угловой скорости , поэтому равенство (9.17) не выполняется. Что касается равенства (9.9), то оно выполняется при вращении твердого тела вокруг любой неподвижной оси.

Пример 9.6. Рассмотрим стержень, изображенный на рис.9.5, вращающийся вокруг оси . Если начало совпадает с концом стержня, лежащим на оси, то как нетрудно проверить, момент импульса стержня, определенный относительно этого начала, направлен вдоль оси вращения . Однако эта ось не является главной осью стержня, так как она не проходит через его центр масс, который лежит в середине стержня. При выборе начала в другой точке оси вектор момента импульса уже не будет направлен вдоль оси вращения, а будет составлять с ней угол, не равный нулю.