129 Г лава 9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Глава 9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

9.1. Вектор угловой скорости

Пусть точка вращается по окружности вокруг оси , рис. 9.1. Угловую координату точки будем отсчитывать от прямой . Направление отсчета угла выберем таким образом, чтобы возрастание координаты соответствовало движению точки против часовой стрелки, если смотреть на точку с "острия" оси . При таком выборе положительного направления отсчета угла угловая скорость ,

положительна, если , то есть точка вращается в положительном направлении. Если же точка вращается в отрицательном направлении, то есть по часовой стрелке, то и угловая скорость отрицательна.

Отметим, что понятия положительного и отрицательного направлений вращения точки условны в том смысле, что связаны с выбором, в общем-то произвольным, положительного направления оси .

Обозначим через орт оси . Введем вектор угловой скорости вращения точки вокруг оси :

. (9.1)

Имеем, учитывая, что :

(9.2)

Рис. 9.1.

то есть длина вектора угловой скорости равна абсолютному значению угловой скорости точки . Из (9.1) следует, что величина есть проекция вектора на ось вращения:

. (9.3)

Итак, вектор параллелен оси , если точка вращается в положительном направлении, и антипараллелен, если направление вращения отрицательно. Если начало вектора поместить в центр окружности и смотреть с "острия" вектора на точку , то она всегда выглядит вращающейся против часовой стрелки.

Из рисунка (9.1) видно, что вектор , вектор скорости точки и радиус-вектор , проведенный к ней из центра окружности, взаимно перпендикулярны. Учитывая, что, , получим:

. (9.4)

Пример 9.1. Материальная точка массы вращается с угловой скоростью по окружности радиуса , рис. 9.2. Вычислим момент импульса частицы относительно начала , лежащего на неподвижной оси вращения , а также проекцию импульса на эту ось.

Рис. 9.2.

Имеем: , где - импульс частицы . Поскольку угол между векторами и прямой, то . Согласно (7.5), а также учитывая, что вектор нормален оси и его плечо равно радиусу окружности, получим:

. (9.5)

Для проекции имеем: , если , то есть частица вращается в положительном направлении; , если она вращается в отрицательном направлении, когда . Ввиду этого из (9.2) и (9.5) следует, что

. (9.6)

Если начало совпадает с центром окружности, то вектор коллинеарен оси ( , если и , если ). Умножая левую и правую части равенства (9.6) на орт и учитывая, что , , получим в этом частном случае:

. (9.7)

Примечание. В целях удобства восприятия рисунка 9.2 вектор изображен исходящим как из точки , так и из точки , а вектор - исходящим из точки .

9.2. Момент инерции

В механике твердым телом (ТТ) называется система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными при движении системы.

При вращении ТТ вокруг неподвижной оси составляющие ТТ материальные точки имеют одинаковую угловую скорость . Для частицы с номером имеем, согласно (9.6):

, (9.8)

где - момент импульса этой частицы относительно оси , - ее масса, - ее расстояние от оси . Момент импульса твердого тела относительно оси , , с учетом (9.8) имеет вид:

, (9.9)

. (9.10)

Величина , определяемая формулой (9.10), называется моментом инерции твердого тела относительно оси . Эта характеристика ТТ никак не связана со скоростью его вращения и определяется лишь массами частиц, составляющих это тело, и их расстояниями до оси . Отметим, что, как следует из (9.9), (9.10), момент импульса ТТ относительно некоторой оси не зависит от того, в какой точке оси находится начало .

Пример 9.2. Если ТТ состоит из одной частицы массы , находящейся на расстоянии от оси , то, согласно (9.10), момент инерции частицы .

Рис. 9.3.

Пример 9.3. Вычислим момент инерции тонкого обруча (цилиндрической оболочки) массы и радиуса относительно оси , проходящей через центр обруча и нормальной к его плоскости, рис. 9.3. Обруч можно представить как совокупность предельно малых элементов с массами , , , каждый из которых отстоит на расстоянии от оси. Применим формулу (9.10):

.

Получим:

. (9.11)

Пример 9.4. Вычислим момент инерции однородного цилиндра (диска) массы и радиуса относительно его оси , рис. 9.4.

Рис. 9.4.

Выделим внутри цилиндра цилиндрическую оболочку радиуса с толщиной стенки , длина оболочки вдоль оси равна длине цилиндра. Площадь заштрихованного на рисунке кольца, являющегося основанием оболочки, равна произведению длины окружности кольца на его ширину, . Объем оболочки . Масса оболочки находится из пропорции:

,

где - объем цилиндра. Получим . Момент инерции оболочки, с учетом (9.11), равен:

.

Момент инерции всего цилиндра находится интегрированием:

,

. (9.12)

Рис. 9.5.

Пример 9.5. Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массы длиной относительно оси , проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему, рис. 9.5.

Выберем на стержне элемент , имеющий координату вдоль оси стрежня . Масса этого элемента находится из пропорции:

.

Ввиду малости элемента считаем его материальной точкой. Его момент инерции относительно оси : . Интегрируя с учетом того, что координата вдоль стержня меняется от нуля до , получим:

. (9.13)

Аналогичным образом с помощью интегрирования могут быть вычислены моменты инерции других тел. Например, если ось проходит не через конец, а через середину стрежня, то момент инерции стержня относительно этой оси равен:

. (9.14)

Момент инерции тонкостенной сферической оболочки массы и радиуса относительно оси, проходящей через центр оболочки, равен

. (9.15)

Момент инерции однородного шара массы и радиуса относительно оси, проходящей через центр шара, равен:

. (9.16)

Задача 9.1. Получить формулу (9.14).

Задача 9.2. Получить формулу (9.15). Указание. Сферическую оболочку представить как совокупность узких колец, воспользоваться формулой (9.11) и с помощью интегрирования вычислить момент инерции оболочки.

Задача 9.3. Получить формулу (9.16). Указание. Шар представить как совокупность вложенных друг в друга сферических оболочек, воспользоваться формулой (9.15) и с помощью интегрирования вычислить момент инерции шара.