8.4. Первая космическая скорость

Если вывести некоторое тело за пределы плотных слоев атмосферы, чтобы оно практически не испытывало при движении сопротивления воздуха, и придать ему определенную скорость, направленную перпендикулярно прямой, соединяющей тело с центром Земли, то оно станет искусственным спутником Земли, вращаясь вокруг нее по круговой орбите. При этом сила притяжения, действующая на тело со стороны Земли, выступает как центростремительная сила, поэтому:

,

где - высота орбиты, - масса тела, - скорость его движения по орбите. Получим с учетом (8.5)

. (8.10)

Конечно же, формула (8.10) применима не только к искусственным спутникам Земли, но и к любым телам, вращающимся по круговым орбитам вокруг планет или звезд. В этом случае величины и имеют смысл массы и радиуса планеты (звезды), а величина имеет смысл ускорения свободного падения на поверхности планеты (звезды).

Пример 8.5. Применим формулу (8.10) для вычисления скорости вращения Луны вокруг Земли. Учитывая, что расстояние от Земли до Луны составляет около 380 тыс. км, получим, что скорость движения Луны по орбите вокруг Земли в инерциальной системе отсчета, относительно которой центр Земли неподвижен, составляет приблизительно . Сделанная оценка не учитывает того, что Луна оказывает определенное влияние на движение центра Земли. Не учтено также некоторое отличие формы орбиты Луны от круговой.

Пусть круговая орбита, по которой тело движется вокруг планеты, является предельно низкой, так что . Скорость движения по такой орбите называется первой космической скоростью для данной планеты. Из (8.10) находим, пренебрегая величиной , выражение для первой космической скорости:

. (8.11)

В частности, для планеты Земля .

Задача 8.3. Стационарным называется искусственный спутник Земли, круговая орбита которого лежит в плоскости экватора Земли и который как бы висит над определенной точкой земной поверхности, например, над некоторым городом. Вычислить радиус орбиты стационарного спутника и скорость его движения по орбите.

Ответ: ; .

Указание. Учесть, что угловая скорость вращения спутника по орбите равна угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси.

8.5. Вторая и третья космические скорости

Поставим вопрос о том, с какой минимальной скоростью необходимо бросить тело с поверхности Земли вертикально вверх, чтобы оно никогда не вернулось на Землю ("ушло в бесконечность"). Полагая в формуле (8.9) , получим:

. (8.12)

Найденная скорость называется второй космической скоростью и равна . Если бросить тело вверх со скоростью , то оно "остановится на бесконечности". Это значит, что скорость тела по мере удаления от Земли будет стремиться к нулю. Отметим, что при выводе формулы (8.12) не учитывалось вращение Земли вокруг своей оси и сопротивление воздуха.

Понятие второй космической скорости применимо не только к Земле, но и к другим планетам. Например, для планеты Марс вторая космическая скорость составляет около .

Пример 8.6. В результате сжатия потухающей звезды под действием гравитационных сил ее радиус уменьшается, а вторая космическая скорость возрастает. При некотором значении радиуса звезды , которое называется гравитационным радиусом, ее вторая космическая скорость становится равной скорости света , и частицы света - фотоны не могут преодолеть поле тяготения этой звезды, которая, таким образом, становится абсолютно невидимой черной дырой. Вычислим гравитационный радиус для звезды, масса которой равна . Находя по формуле (8.5) ускорение свободного падения на поверхности этой звезды

и пользуясь формулой (8.12), в которой следует положить , , получим:

. (8.13)

Интересно отметить, что полученное на основе классической механики выражение (8.13) для гравитационного радиуса совпадает с тем, которое следует из общей теории относительности.

Третьей космической скоростью обычно называют ту минимальную скорость, которую необходимо придать телу, находящемуся на Земле, чтобы оно навсегда покинуло Солнечную систему. Эта скорость близка к . При ее вычислении учитывается влияние полей тяготения Земли и Солнца.

Задача 8.4. Тело бросили с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью , . Найти предел , к которому будет стремиться скорость тела при его бесконечном удалении от Земли.

Ответ: .

Указание. Применив закон сохранения энергии, вычислить скорость тела на бесконечности.