115 Г лава 8. Тяготение тел

Глава 8. Тяготение тел

1. Закон всемирного тяготения

Как показывает опыт, все физические тела испытывают действие сил взаимного притяжения, называемых гравитационными силами. Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством особой формы материи - гравитационного поля. Закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном, гласит: между двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс материальных точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними,

. (8.1)

Коэффициент называется гравитационной постоянной.

Закон тяготения сформулирован для двух материальных точек. Возникает вопрос, как применять его для нахождения силы притяжения между реальными телами конечных размеров? В этом случае непосредственно воспользоваться формулой (8.1) нельзя, поскольку неясно, что же принять за расстояние между телами. Поэтому следует мысленно разбивать тела на очень малые части, каждую из которых можно принять за материальную точку (частицу) Вычисляя силу притяжения для каждой пары частиц, одна из которых принадлежит одному телу, а вторая - другому телу, путем суммирования этих сил можно вычислить силу притяжения между телами. Чтобы результат был точным, размеры частиц должны быть предельно малыми. Сумма сил переходит при этом в интегральную сумму. Таким образом, вычисление силы притяжения между телами сводится к операции интегрирования.

Пример 8.1. Частица массы находится на расстоянии от конца тонкого стержня длины и массы , рис. 8.1. Вычислим силу притяжения между частицей и стержнем. Выделим элемент стержня длиной , имеющий координату .

Рис. 8.1.

Масса этого элемента находится из пропорции:

.

Расстояние от частицы до выделенного элемента стержня . Рассматривая элемент как материальную точку, получим силу притяжения между элементом стержня и частицей:

.

Эта сила направлена вдоль оси . Интегрируя, получим:

. (8.2)

Если бы в точке находилась частица массы , равной массе стержня, то сила ее притяжения к частице массы была бы равна:

. (8.3)

Заключаем, что при вычислении силы притяжения между стержнем и частицей нельзя считать, что масса стержня сосредоточена в его центре масс.

Рассмотрим шар, плотность вещества которого зависит лишь от расстояния до центра шара. Распределение массы в этом шаре является сферически симметричным. Сферически симметричным является однородный шар, у которого . Расчет показывает, что при вычислении силы притяжения между двумя шарами со сферически симметричным распределением масс можно считать эти шары материальными точками, находящимися в центрах шаров. При вычислении силы притяжения между материальной точкой А и шаром со сферически симметричным распределением массы последний также можно считать материальной точкой.

Пример 8.2. Частица А массы находится на расстоянии от центра тонкого однородного сферического слоя вещества радиуса ("сферической оболочки") и массы . Вычислим силу притяжения , действующую на частицу со стороны сферической оболочки, рассмотрев два случая: а) , так что частица находится вне оболочки; б) частица находится внутри оболочки.

Если , то сферическую оболочку можно считать материальной точкой. С помощью формулы (8.1), полагая в ней , , , получим

.

Пусть частица А находится внутри сферического слоя, который будем считать бесконечно тонким, рис.8.2,а.

Рис. 8.2.

Построим коническую поверхность с предельно малым углом раствора и вершиной в точке . Эта поверхность "вырезает" на оболочке два малых подобных друг другу элемента с площадями и и массами , . Линейные размеры вырезанных элементов относятся друг к другу как их расстояния от точки А, а площади этих элементов относятся как квадраты расстояний от точки А,

. (8.4)

Для сил и , с которыми элементы и притягивают частицу А, имеем:

.

С учетом (8.4) находим, что . Эти силы "тянут" частицу А в противоположные стороны, так что их равнодействующая равна нулю.

Аналогичным образом всю сферическую оболочку можно разбить на пары малых элементов, действующих на частицу А с нулевой результирующей силой. Таким образом, сила, действующая со стороны сферической оболочки на частицу, расположенную внутри нее, равна нулю.

Пусть частица А находится внутри сферического слоя конечной толщины, рис. 8.2,б. Сферический слой можно рассматривать как совокупность бесконечного числа вложенных друг в друга сферических оболочек, каждая из которых действует на частицу А с силой, равной нулю. Таким образом, внутри сферического слоя конечной толщины на частицу действует сила, равная нулю.

Гравитационная постоянная была впервые определена экспериментально английским ученым Кавендишем в 1798 году, при помощи крутильных весов. Современные измерения дают:

.

Опыт Кавендиша получил название "взвешивание Земли", поскольку, определив величину , Кавендиш смог вычислить массу нашей планеты. Действительно, Земля притягивает малое тело массы , находящееся у ее поверхности, с силой

,

где - радиус Земли. С другой стороны, сила притяжения Земли сообщает телам у ее поверхности ускорение , поэтому . Приравнивая два выражения для силы , получим

. (8.5)

Из этой формулы находим массу Земли: .

Задача 8.1. Чему равно ускорение свободного падения тел в шахте на глубине ?

Ответ: .

Указание. Воспользоваться результатом, полученным в примере 8.2, в соответствии с которым сферический слой толщиной , находящийся над частицей в шахте, действует на частицу с нулевой силой. Ускорение частице в шахте сообщает лишь находящийся "под ней" шар радиуса , где - радиус Земли. Считать земной шар однородным.