7.4. Уравнение моментов относительно движущегося начала и движущейся оси
Пусть начало , относительно которого определяются моменты, движется. Имеем для частицы (см. рис.7.4):
,
, (7.14)
где
- скорость частицы
,
- скорость точки
.
Дифференцируя (7.4) по времени, придем к
равенству (7.7). Подставляя (7.14) в (7.7),
получим:
. (7.15)
Рассмотрим систему материальных точек. Записав для каждой из них уравнение (7.15) и сложив все уравнения, получим с учетом того, что суммарный момент внутренних сил равен нулю:
,
где
- момент импульса системы;
- момент внешних сил, действующих на
систему;
- импульс системы. Учтем, что
,
где
- масса системы,
- скорость её центра масс. Получим:
. (7.16)
Это равенство называется уравнением моментов относительно движущегося начала.
Поместим начало
в центр масс системы. Тогда
и векторное произведение в (7.16) равно
нулю. Уравнение моментов примет вид:
. (7.17)
Сравнивая (7.17) с (7.10), заключаем, что уравнение моментов относительно центра масс системы имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки.
Момент импульса системы равен сумме моментов импульсов частиц:
, (7.18)
где
- радиус-вектор
-ой
частицы относительно центра масс,
- скорость частицы относительно
"неподвижной" системы отсчета.
Преобразуем выражение (7.18), используя
классическое правило сложения скоростей:
, (7.19)
где
- скорость частицы с номером
относительно системы отсчета, связанной
с центром масс и движущейся поступательно.
С учетом (7.19) получим из (7.18):
. (7.20)
Замечаем, что
.
Учитывая определение
(4.14) центра масс системы, заключаем, что
,
где
- радиус-вектор центра масс в системе
отсчета, начало которой совпадает с
центром масс; (
- радиусы-векторы частиц относительно
движущегося начала, совпадающего с
центром масс). Таким образом,
и, следовательно,
.
Формула (7.20) примет вид:
. (7.21)
Эта формула выражает момент импульса системы через скорости частиц относительно системы отсчета, связанной с центром масс, в отличие от формулы (7.18), в которую входят скорости частиц относительно "неподвижной" системы отсчета.
Пусть - ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы. Проектируя на нее уравнение моментов (7.17), получим уравнение моментов относительно движущейся оси:
, (7.22)
где - проекция на ось вектора , определяемого формулой (7.21); - момент внешней силы относительно оси .