6.11. Условия равновесия частицы, находящейся в поле консервативной силы

Пусть частица находится в поле консервативной силы. При перемещении частицы согласно (6.24) имеем:

, (6.57)

где - сила, действующая на частицу в поле, - потенциальная энергия частицы, являющаяся функцией ее координат. Учитывая, что , получим из (6.57):

. (6.58)

Но дифференциал функции , согласно (2.61), можно представить в виде:

. (6.59)

Из (6.58)., (6.59) находим:

.

Последнее равенство должно выполняться при любых значениях , , . Это возможно лишь в том случае, если

. (6.60)

Формулы (6.60) позволяют вычислять силу , действующую на частицу со стороны поля, в котором ее потенциальная энергия задана.

Пример 6.12. Потенциальная энергия частицы во внешнем поле , где - длина радиуса-вектора частицы, - положительная постоянная. Вычислим силу, действующую на частицу. Учитывая, что , получим из (6.60):

,

,

,

.

Итак, сила направлена противоположно радиусу-вектору частицы. Это означает, что в начале системы координат находится силовой центр.

Положением равновесия частицы называется такая точка поля, в которой сила, действующая на частицу, равна нулю. Можно показать, что в такой точке потенциальная энергия частицы экстремальна, причем если функция имеет минимум, то равновесие устойчиво. Последнее означает, что при бесконечно малом смещении частицы из положения равновесия сила, на нее действующая, стремится вернуть частицу в положение равновесия. Если же в этой точке поля потенциальная энергия максимальна, то равновесие частицы в такой точке неустойчиво - при бесконечно малом смещении частицы от положения неустойчивого равновесия сила поля стремится удалить частицу от этого положения. Проиллюстрируем сказанное на примере частицы, совершающей одномерное движение вдоль оси . При этом ,

. (6.61)

Обозначим через координату положения равновесия, то есть той точки на оси , в которой . В этой точке, согласно (6.61), имеем

, (6.62)

то есть потенциальная энергия экстремальна.

При бесконечно малом смещении частицы от точки приращение проекции силы на ось равно дифференциалу силы:

.

Учитывая, что и, согласно (6.61), , получим:

. (6.63)

есть сила, действующая на частицу при ее бесконечно малом смещении от положения равновесия . Если в точке функция имеет минимум, то в этой точке вторая производная функции положительна. При этом из (6.63) следует:

(6.64)

то есть сила, действующая на частицу, направлена в сторону, противоположную смещению частицы от положения равновесия, которое, таким образом, является устойчивым.

Если в точке функция имеет максимум, то ее вторая производная в этой точке отрицательна. Неравенства (6.64) в этом случае меняются на противоположные. При этом сила, действующая на частицу при ее смещении от точки , направлена в сторону смещения, то есть "мешает" частице вернуться в точку , что соответствует неустойчивому равновесию частицы в этой точке.

Результаты изложенные в настоящем подразделе, можно обобщить на случай системы частиц, внутри которой и на которую действуют консервативные силы.

Задача 6.10. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где и - положительные постоянные, - расстояние от центра поля. Найти:

а) значение , соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей и - проекции силы на радиус-вектор .

Ответ: а) , устойчиво; б) .