6.10. Абсолютно упругий удар

В некоторых случаях деформации и изменения, которые претерпевают сталкивающиеся тела, пренебрежимо малы. Соответственно, незначительно изменение внутренней энергии тел при ударе, и механическую энергию системы сталкивающихся тел можно считать неизменной. Соударение тел, в результате которого их общая механическая энергия не меняется, называется абсолютно упругим ударом. Рассмотрим такой удар на примере центрального столкновения двух частиц, при котором и до, и после удара частицы движутся вдоль одной и той же прямой, которую примем за ось .

Обозначим через и массы частиц, через и - проекции на ось их скоростей до удара и через , - проекции их скоростей после удара. Считая время соударения достаточно малым, применим, как и в предыдущем подразделе, закон сохранения импульса, проектируя импульсы частиц на ось :

. (6.51)

Ввиду сохранения механической энергии системы при абсолютно упругом ударе имеем:

. (6.52)

Из системы уравнений (6.51), (6.52) можно вычислить проекции , скоростей на ось после удара, считая известными проекции , скоростей частиц до удара. Поскольку эта система содержит квадраты искомых величин и , следует ожидать, что она имеет два решения. Одно из них является очевидным:

. (6.53)

Действительно, подстановка (6.53) в уравнения (6.51) и (6.52) обращает эти уравнения в тождества. Решение (6.53) соответствует отсутствию столкновения между частицами, каждая из которых продолжает двигаться с неизменной скоростью. Поэтому решение (6.53) является, как принято говорить, тривиальным.

Чтобы получить нетривиальное решение системы уравнений (6.51) и (6.52), при котором

, (6.54)

перепишем эти уравнения в виде:

,

.

Поделив нижнее уравнение на верхнее и учитывая (6.54), получим:

. (6.55)

Решая линейную систему алгебраических уравнений (6.55), (6.51) относительно неизвестных и , получим:

(6.56)

Формулы (6.56) дают решение задачи об изменении скоростей частиц при абсолютно упругом центральном ударе.

Пример 6.10. Соударения бильярдных шаров можно с большой степенью точности считать абсолютно упругими. Удар двух бильярдных шаров является центральным в том случае, если скорости шаров до удара направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. Вдоль этой же линии будут двигаться шары и после удара. Каждый, кто наблюдал игру в бильярд, мог заметить следующий эффект: если движущийся шар испытывает центральный удар с покоящимся шаром, то первый шар останавливается, а второй начинает двигаться с такой же скоростью, с какой двигался до удара первый шар. Покажем, что этот эффект согласуется с полученным выше решением задачи об абсолютно упругом центральном ударе частиц. Полагая массы частиц равными, , и считая, что , получим из (2.56) , , что соответствует эффекту, наблюдаемом при соударении бильярдных шаров.

Пример 6.11. Пусть шар №1 сталкивается с неподвижным шаром №2, масса которого много больше массы первого шара, , так что можно считать, что . Получим из (6.56), полагая , что , . Таким образом, легкий шар, ударяясь о тяжелый, отскочит назад (отразится) с такой же по величине скоростью, с какой он "налетел" на тяжелый шар. Тяжелый шар при этом останется неподвижным.

Задача 6.9. В результате упругого лобового столкновения частицы 1 массы с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

Ответ: .