6.7. Потенциальная энергия системы. Закон сохранения энергии в механике

Рассмотрим систему частиц, на которую и внутри которой действуют только консервативные и гироскопические силы. Потенциальной энергией системы называется величина:

, (6.37)

где - сумма потенциальных энергий частиц в поле внешних сил, - потенциальная энергия взаимодействия частиц друг с другом (внутренняя потенциальная энергия).

Для двух произвольных положений "1" и "2" системы имеем:

,

. (6.38)

С учетом (6.21) величина равна работе всех внешних сил при изменении положения системы. Согласно (6.27) величина равна работе всех внутренних сил. Находим из (6.38):

, (6.39)

где - работа всех консервативных сил, как внешних, так и внутренних, совершаемая ими при переходе системы из состояния "1" в состояние "2". Таким образом, убыль потенциальной энергии системы равна работе консервативных сил, действующих на систему и внутри нее (работа гироскопических сил равна нулю).

С другой стороны, как показано в подразделе 6.3, работа всех сил, как внешних, так и внутренних, равна приращению кинетической энергии системы,

. (6.40)

Из (6.39), (6.40) находим:

. (6.41)

Механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:

. (6.42)

Таким образом, равенство (6.41) можно переписать в виде:

, (6.43)

где , - значения механической энергии системы в положениях "1" и "2". Из (6.43) следует, что при изменении положения рассматриваемой системы, механическая энергия остается неизменной. Итак, если на систему и внутри нее действуют только консервативные и гироскопические силы, то механическая энергия такой системы не меняется при ее движении, то есть сохраняется. Это утверждение носит название закона сохранения энергии в механике.

Анализ показывает, что этот закон связан с однородностью времени, то есть принципиальной равноценностью различных моментов времени.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда на систему и внутри нее действуют не только консервативные и гироскопические, но и другие, неконсервативные силы. В этом случае величина , входящая в (6.40), есть сумма работы консервативных сил и работы неконсервативных сил при переходе системы из состояния "1" в состояние "2". Получим:

. (6.44)

Согласно (6.39), величина равна убыли потенциальной энергии системы, и (6.44) примет вид:

,

. (6.45)

Итак, приращение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил, действующих на систему и внутри нее.

Пример 6.8. Применим равенство (6.45) для решения задачи о машине Атвуда, см. пример 4.2. Для системы двух грузов роль неконсервативных внешних сил играют силы и натяжения нитей, рис.4.4. Если один из грузов сместится, то на такое же расстояние, но в обратном направлении сместится другой груз, поскольку нить нерастяжима. Силы и одинаковы по величине и направлению, а их работы при смещении грузов равны по величине, но противоположны по знаку. Таким образом, суммарная работа сил натяжения нити равна нулю. Равенство (6.45) примет вид , что означает неизменность механический энергии системы из двух грузов, . Получим:

,

где , - координаты грузов (их "высоты подъема"). Дифференцируя это равенство по времени, получим:

,

где , , , - проекции скоростей и ускорений грузов на вертикальную ось . Учитывая, что , , получим:

,

что совпадает с результатом, найденным из динамического решения задачи.

Задача 6.6. Тело массы брошено с начальной скоростью под углом к горизонту. Используя уравнения равноускоренного движения, показать, что механическая энергия тела не меняется при движении и равна .