6.6. Консервативное взаимодействие частиц системы

Рассмотрим систему частиц, взаимодействующих друг с другом. Пусть система переходит из положения (состояния) "1" в положение "2", рис. 6.3. Силы взаимодействия совершают при этом некоторую работу . Пусть работа не зависит от того, каким путем система перешла из одного состояния в другое, а сами силы взаимодействия между частицами зависят только от расположения частиц (их координат).В этом случае говорят, что силы взаимодействия между частицами системы являются консервативными. Если вернуть систему в исходное положение, то работа действующих между частицами консервативных сил будет такой, же, как если бы система не меняла своего положения, то есть равной нулю.

Для системы, внутри которой действуют лишь консервативные и гироскопические силы, можно ввести физическую величину, называемую потенциальной энергией взаимодействия частиц системы, или внутренней потенциальной энергией системы.

По определению:

. (6.27)

Убыль внутренней потенциальной энергии системы равна работе, совершаемой консервативными силами, действующими между частицами системы при ее переходе из состояния "1" в состояние "2".

Примечание. Величина называется убылью потенциальной энергии, в отличие от разности , которая называется приращением.

В физических задачах участвует лишь убыль или приращение потенциальной энергии взаимодействия частиц системы. Однако используется также понятие потенциальной энергии взаимодействия частиц системы в положении системы " ". Для этого какому-либо фиксированному положению " " системы приписывается нулевое значение потенциальной энергии взаимодействия частиц. В этом случае можно положить:

. (6.28)

Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия частиц системы в некотором положении системы " " равна работе, которую совершат консервативные силы взаимодействия между частицами системы при ее переходе из положения " " в "нулевое" положение " ".

Из (6.27) следует, что при бесконечно малом изменении положения системы дифференциал энергии взаимодействия выражается через элементарную работу консервативных сил взаимодействия:

. (6.29)

Если, кроме консервативных сил, между частицами системы действуют также и гироскопические силы, то все данные определения и формулы (6.27) - (6.29) остаются в силе, так как работа гироскопических сил равна нулю.

Пример 6.6. Между частицами А и В имеет место центральное взаимодействие, рис. 6.6, так что

, (6.30)

где - сила, действующая со стороны частицы А на частицу В; , где и - радиусы-векторы частиц А и В; - некоторая функция расстояния между частицами. Вычислим потенциальную энергию взаимодействия этих двух частиц.

Пусть частицы совершили элементарные перемещения и . Силы взаимодействия совершили при этом работу:

Рис. 6.6.

.

С учетом (6.30) имеем:

.

Учитывая также (6.19), получим:

. (6.31)

Из (6.31) следует, что при переходе системы из двух частиц из положения "1" в положение "2" работа сил взаимодействия равна определенному интегралу от функции в пределах от до , где - начальное, а - конечное расстояния между частицами. Этот интеграл не связан с путем перехода системы из начального в конечное состояние. Следовательно, силы центрального взаимодействия между двумя частицами являются консервативными. Поэтому можно ввести потенциальную энергию центрального взаимодействия частиц согласно (6.29):

,

. (6.32)

Величина зависит лишь от расстояния между частицами.

Рассмотрим случай гравитационного притяжения между двумя частицами с массами и . При этом

,

,

где - гравитационная постоянная. Подставляя последнее равенство в (6.32), получим потенциальную энергию гравитационного притяжения двух материальных точек:

, (6.33)

где - произвольная постоянная, которую обычно полагают равной нулю. При имеем , если , то есть бесконечно удаленным друг от друга частицам соответствует нулевая потенциальная энергия гравитационного взаимодействия.

Пример 6.7. Две частицы соединены пружиной с коэффициентом жесткости , длина недеформированной пружины равна . Вычислить потенциальную энергию такого упругого взаимодействия двух частиц. Радиусы-векторы частиц равны и .

Упругую силу, действующую со стороны 1-й частицы на вторую, можно записать в виде:

, (6.34)

где - расстояние между частицами, - длина недеформированной пружины, а вектор направлен вдоль прямой, соединяющей частицы. Эта сила пропорциональна деформации пружины ( ). Если , то частицы отталкиваются, если же , то они притягиваются пружиной друг к другу. Сравнивая (6.34) с (6.30), заключаем, что сила (6.34) является центральной, причем . С учетом (6.32) получим:

. (6.35)

Константу обычно выбирают так, чтобы при недеформированной пружине, то есть при , потенциальная энергия равнялась нулю. Полагая в (6.35) , , получим, что . Тогда формула (6.35) примет вид:

, (6.36)

где - деформация пружины. Поскольку характеристики частиц, соединенных пружиной, не входят в формулу (6.36), то говорят, что величина , определяемая этой формулой, есть потенциальная энергия деформированной (сжатой или растянутой) пружины.

Задача 6.5. Между двумя молекулами реального газа действует центральная сила вида (6.30), причем

.

Вычислить потенциальную энергию взаимодействия этих молекул. Изобразить графически зависимость потенциальной энергии от расстояния между молекулами.

Ответ: .