6.5. Потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил

Определение. Разностью потенциальных энергий частицы в двух точках пространства "1" и "2" называется работа, которую совершает действующая на частицу консервативная сила при перемещении частицы из положения "1" в положение "2":

. (6.21)

Эта разность, ввиду консервативности силы , не зависит от пути перемещения частицы из положения "1" в положение "2".

Если, кроме силы , на частицу действует гироскопическая сила , нормальная вектору скорости частицы, то работа силы равна нулю при любом перемещении частицы. Это следует из равенства нулю элементарной работы гироскопической силы:

.

Поэтому гироскопические силы не вносят вклада в разность (6.21). Отметим, что гироскопические силы не относятся к консервативным по той причине, что зависят не только от положения частицы, на которую действуют, но и от ее скорости.

В физических задачах участвует лишь разность потенциальных энергий частицы в двух положениях, определяемая формулой (6.21). Однако в физике используется и понятие потенциальной энергии частицы в данной точке пространства.

Определение. Потенциальной энергией частицы в точке пространства с радиусом-вектором называется работа, которую совершает действующая на частицу консервативная сила при перемещении частицы из этой точки пространства в некоторую фиксированную точку:

, (6.22)

где - радиус-вектор фиксированной точки.

Выбор точки произволен и определяется соображениями удобства записи формул.

Определение потенциальной энергии частицы (6.22) согласуется с определением разности потенциальных энергий (6.21). Чтобы показать это, вычислим разность потенциальных энергий частицы в двух положениях с помощью формулы (6.22), и покажем, что результат совпадает с (6.21). Имеем, согласно (6.22):

,

,

. (6.23)

Меняя местами пределы интегрирования во втором интеграле в правой части (6.23) и используя свойства 2 и 4 определенного интеграла (подраздел 2.6), получим из (6.23) равенство (6.21).

Из определения (6.22) следует, что в точке потенциальная энергия равна нулю, , поскольку при в криволинейном интеграле (6.22) верхний и нижний пределы совпадают (см. свойство 3 определенного интеграла, подраздел 2.6). Таким образом, фиксированная точка является "нулевой" точкой в том смысле, что потенциальная энергия в ней равна нулю.

Дифференциал функции , как следует из (6.22), равен:

. (6.24)

Действительно, интегрируя равенство (6.24) в пределах от до и полагая , получим формулу (6.22).

Вычислим потенциальную энергию частицы массы , находящейся на уровне в однородном поле тяжести, характеризуемом ускорением свободного падения, равным . Пользуясь определением (6.21) и результатом (6.6), получим:

, (6.25)

где , - значения потенциальной энергии частицы на уровнях и . Из (6.25) следует, что на произвольном уровне потенциальную энергию частицы можно представить в виде:

, (6.26)

где - произвольная постоянная. Действительно, из (6.26) имеем:

,

что совпадает с (6.25). Произвольная константа , входящая в (6.26), станет определенной, если выбрать "нулевой" уровень. Например, приписав частице на уровне потенциальную энергию , получим из (6.26) .

Пример 6.5. Вычислим потенциальную энергию системы частиц с массами находящихся в однородном поле тяжести, характеризуемом ускорением , на уровнях ( - координата вдоль вертикальной оси). Имеем:

.

Но , где - масса системы, - уровень (координата) ее центра масс. Итак, ,то есть потенциальная энергия системы такая же, какая была бы у одной частицы массы , находящейся в центре масс системы.

Задача 6.4. Частица находится в центральном поле с силовым центром в начале системы координат. Сила, действующая на частицу, зависит от ее радиуса-вектора по закону:

,

где - постоянная. Вычислить потенциальную энергию частицы в таком поле.

Указание. Воспользоваться формулами (6.24) и (6.19).

Ответ: .