2. Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой за единицу времени:

. (6.7)

Подставляя (6.1) в (6.7) получим:

, (6.8)

где - скорость движения точки приложения силы.

В системе СИ мощность измеряется в ваттах:

Пример 6.2. Частица массы брошена под углом к горизонту с начальной скоростью . Найти мгновенную мощность силы тяжести, действующей на частицу, а также среднюю мощность силы тяжести за время движения частицы.

Подставляя в (6.8) , где - вектор начальной скорости частицы, и учитывая, что получим:

.

Применяя формулу (6.6), в которой следует положить , получим, что работа силы тяжести, совершенная при движении частицы, равна нулю. Поэтому средняя мощность, определяемая выражением , где -полное время движения частицы, равна нулю.

6.3. Кинетическая энергия

Кинетической энергией частицы массы , движущейся со скоростью , называется величина:

. (6.9)

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий составляющих систему частиц.

Пусть - результирующая сила, действующая на частицу массы . Тогда в (6.3) можно положить ,где - скорость частицы. Учитывая также, что , получим, заменив пределы интегрирования ввиду перехода к переменной интегрирования :

, (6.10)

где - скорость частицы в положении 1, - ее скорость в положении 2. Из (6.10) находим:

, (6.11)

где - кинетическая энергия частицы в положениях 1 и 2. Таким образом, работа результирующей силы, действующей на материальную точку, равна приращению ее кинетической энергии.

Рис. 6.3.

Рассмотрим систему материальных точек. Пусть система перешла из положения 1 в положение2 ("изменила свою конфигурацию"), рис. 6.3. В процессе перемещения материальной точки с номером на нее действовали как внешние, так и внутренние силы, которые совершили некоторую работу . Согласно (6.11), эта работа равна приращению кинетической энергии материальной точки,

. (6.12)

Складывая работы , , придем к формуле (6.11), в которой теперь величины и имеют смысл начальной и конечной кинетических энергий всей системы. Итак, работа всех сил, действующих на систему и внутри нее, равна приращению кинетической энергии системы.

Пример 6.3. Локомотив массы начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону , где - постоянная, - пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые секунд после начала движения.

Полагая , получим дифференциальное уравнение

.

Решая это уравнение с учетом начального условия , получим, что . Отсюда . Работа всех сил, действующих на локомотив, равна приращению его кинетической энергии:

,

где - начальная кинетическая энергия.

Задача 6.2. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса , зависит от пройденного пути по закону , где - постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от .

Ответ: .

6.4. Поле консервативной силы

Пусть в некоторой области пространства на частицу действует сила , зависящая от положения частицы, то есть от ее радиуса-вектора , и от скорости ее движения, но не зависящая непосредственно от времени. В этом случае говорят, что частица находится в стационарном силовом поле. Такую силу будем называть стационарной. Например, стационарное гравитационное поле создается любым телом, неподвижным в данной системе отсчета; стационарное магнитное поле создается неподвижным магнитом.

Определение. Стационарная сила, действующая на частицу, называется консервативной, если она зависит лишь от положения частицы в пространстве, а ее работа при перемещении частицы из одной точки пространства в другую зависит лишь от положения этих точек, но не зависит от пути перемещения.

При перемещении частицы из точки "1" пространства в точку "2" по различным траекториям, рис.6.4, имеет место равенство работ, совершаемых консервативной силой :

. (6.13)

Консервативной, например, является сила тяжести у поверхности Земли. Действительно, как было показано в подразделе 6.1, работа силы тяжести не зависит от пути перемещения частицы, а зависит лишь от ее начального и конечного положений - высот и .

Пусть частица, на которую действует консервативная сила , совершила перемещение по какому-либо замкнутому контуру, например, по контуру , рис.6.4. Работа силы , действующей на частицу, равна:

, (6.14)

Но

, (6.15)

поскольку на каждом элементарном участке траектории при обратном перемещении частицы совершается работа, равная по модулю, но противоположная по знаку той работе, что совершается при прямом перемещении. С учетом (6.15) находим из (6.14):

.

Рис. 6.4.

Учитывая, что согласно (6.13) , получим:

, (6.16)

где символ означает криволинейный интеграл вдоль замкнутой траектории . Ввиду произвольности выбора замкнутого контура из (6.16) следует, что работа, совершаемая консервативной силой, действующей на частицу, при перемещении частицы по любому замкнутому контуру равна нулю.

Легко показать, что справедливо и обратное утверждение: если работа силы, действующей на частицу, равна нулю при перемещении частицы по любому замкнутому контуру, то эта сила является консервативной. Для доказательства этого утверждения следует интеграл по замкнутому контуру в (6.16) представить как сумму криволинейных интегралов по траекториям и и воспользоваться равенством (6.15), что приведет к равенству , означающему консервативность силы .

Пример 6.4. Сила, действующая на частицу, называется центральной, если она направлена к одной и той же точке пространства, называемой силовым центром, либо от нее, и зависит лишь от расстояния частицы до этой точки. Покажем консервативность центральной силы. Будем считать для простоты, что силовой центр находится в начале системы координат. Тогда силу, действующую на частицу, можно представить в виде:

Рис. 6.5.

, (6.17)

где - радиус-вектор частицы, - единичный вектор, направленный от силового центра к частице, - функция, зависящая от расстояния частицы до силового центра.

Работа силы при перемещении частицы из положения "1" в положение "2", рис.6.5, равна:

. (6.18)

Учитывая, что

, (6.19)

получим из (6.18), (6.17):

, (6.20)

где - первообразная функции . Их (6.20) следует, что работа центральной силы зависит лишь от начального и конечного положения частицы (величин и ), но не зависит от пути перемещения частицы из положения "1" в положение "2". Таким образом, центральная сила консервативна.

Задача 6.3. Стационарная сила, действующая на частицу, зависит от положения частицы (ее координат , и ) по закону:

,

где , , - постоянные. Показать, что эта сила консервативна.

Указание. При вычислении работы силы учесть, что , где - радиус-вектор частицы.