97 Г лава 6. Работа и энергия

Глава 6. Работа и энергия

1. Работа силы

Пусть частица движется по некоторой траектории , рис. 6.1, и при этом на частицу действует сила . В пределах бесконечно малого ("элементарного") перемещения силу можно считать постоянной.

Рис. 6.1

Элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведение на :

, (6.1)

где - угол между векторами и , - элементарный путь, проекция вектора на направление . Из определения (6.1) следует, что , если ; , если ; , если .

Пусть частица, двигаясь по траектории , переместилась из положения 1 в положение 2. Перемещение частицы можно рассматривать как сумму бесконечного числа элементарных перемещений , , ... . Обозначим через силу, которая действовала на частицу на перемещении , . Суммируя элементарные работы, получим:

, (6.2)

где - работа, совершенная силой при перемещении частицы из положения 1 в положение 2. Сравнивая (6.2) с (2.31), заключаем, что сумма в правой части (6.2) является интегралом, причем роль подинтегральной функции играет сила , а аргументом является радиус-вектор частицы . Интеграл вида (6.2) называется криволинейным интегралом вектора вдоль траектории , для его обозначения используется обычный символ определенного интеграла:

. (6.3)

Итак, работа силы равна криволинейному интегралу вектора вдоль траектории движения точки приложения силы. Криволинейные интегралы, как и обычные определенные интегралы, удовлетворяют свойствам 1-4, см. подраздел 2.6.

Если сила является суммой нескольких сил,

, (6.4)

то, подставляя (6.4) в (6.3), получим:

,

где - работа, совершаемая силой , .

Единицей работы в системе СИ является джоуль.

.

Пример 6.1. Материальная точка массы находится в однородном поле тяжести у поверхности земли, рис. 6.2. Она совершила перемещение, в результате которого ее высота изменилась от значения до . Какую работу совершила при этом сила тяжести, действующая на материальную точку?

Рис. 6.2

Воспользуемся формулой (6.3). Учитывая, что сила тяжести не зависит от положения материальной точки, то есть от радиуса-вектора , вынесем за знак интеграла. Получим:

, (6.5)

где - радиус-вектор материальной точки при ее нахождении на высоте , - на высоте .

При этом , где ; , где , , - координаты точки 1 по осям , , соответственно; , где , , - координаты точки 2. Получим из (6.5)

. (6.6)

Обратим внимание на то обстоятельство, что работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой происходило перемещение материальной точки, а зависит лишь от ее конечного и начального положений (высот и ).

Задача 6.1. Брусок массы , который можно принять за материальную точку, соскальзывает с вершины наклонной плоскости, имеющей длину и наклоненной под углом к горизонтальной плоскости. Коэффициент трения равен . Найти работу всех сил, действующих на брусок, за время спуска с наклонной плоскости.

Ответ. Работа силы тяжести равна . Работа силы трения равна . Работа нормальной к наклонной плоскости составляющей силы реакции, действующей на брусок, равна нулю.