4.11. Движение центра масс системы

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек, имеющих массы и радиусы-векторы . Центром масс системы называется такая точка пространства, радиус-вектор которой равен:

, (4.14)

где - масса системы.

Дифференцируя равенство (4.14) по времени, получим скорость движения центра масс:

, (4.15)

где - скорость частицы с номером .

Проектируя (4.14) на какую-либо ось, например, на ось , получим:

, (4.16)

где - координата центра масс по оси , - координата частицы с номером по оси . Аналогично, проекция скорости центра масс на какую-либо ось выражается через проекции скоростей частиц системы на ту же ось.

Рис. 4.6.

Пример 4.6. В углах квадрата со стороной расположены частицы с массами , , , . Найдем положение центра масс этой системы частиц.

Выберем оси , , как показано на рис. 4.6. Имеем:

С помощью (4.16) находим координаты и центра масс:

Применим к каждой из частиц системы 2-й закон Ньютона:

, (4.17)

где , - соответственно внешняя и внутренняя силы, действующие на частицу с номером . Сложим все равенства (4.17). Поскольку сумма внутренних сил равна нулю, получим:

,

где - сумма внешних сил, действующих на систему. Учитывая (4.14), (4.15), из последнего равенства находим:

. (4.18)

Равенство (4.18) называется уравнением движения центра масс системы. По своей структуре оно аналогично 2-му закону Ньютона. Из него следует, что произведение массы системы на ускорение центра масс равно внешней силе, действующей на систему.

Если внешняя сила рана нулю, то из (4.18) получим, что , то есть центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно. Рассмотрим, например, солнечную систему, которую можно считать практически изолированной или замкнутой, то есть не подверженной воздействию внешних сил. Входящие в нее различные тела - Солнце, планеты с их спутниками, астероиды, кометы - совершают под действием взаимного притяжения сложные движения. Но центр масс Солнечной системы движется относительно звездной ИСО равномерно и прямолинейно. Лишь за промежуток времени порядка тысячи лет имеет место заметное отклонение движения центра масс от равномерного и прямолинейного, что связано как с влиянием гравитационных полей Галактики, так и с неидеальной инерциальностью звездных систем отсчета.

Отметим, что при решении задач о движении друг относительно друга тел, составляющих вместе изолированную систему, бывает удобно использовать систему отсчета, связанную с центром масс системы.

Пример 4.7. С высоты от поверхности земли брошен вертикально вниз с начальной скоростью кусок пластилина массы . Одновременно с земли брошен вверх с такой же начальной скоростью другой кусок пластилина такой же массы. После встречи куски слиплись. Через сколько времени после момента бросания они упадут на землю?

Направим ось вертикально вверх и воспользуемся уравнением (4.18), спроектировав его на ось . Учитывая, что масса системы равна , а действующая на систему сила тяжести равна и направлена вниз, получим:

,

где - координата центра масс двух кусков пластилина.

Дважды интегрируя это равенство, находим:

, (4.19)

где и - начальные координата и скорость центра масс. Имеем:

с учетом (4.15) находим:

,

где , , , - начальные координаты и скорости кусков пластилина. Полагая , , , получим, что , , и (4.19) примет вид:

.

В момент падения слипшихся кусков на землю . Получим время падения . Для решения задачи мы воспользовались тем обстоятельством, что при слипании кусков пластилина между ними действуют лишь внутренние силы, тогда как внешняя по отношению к системе из двух кусков сила тяжести остается неизменной.

Задача 4.5. Найти положение центра масс диска с вырезом, рис. 4.7.

Указание. Исходить из того, что известно положение центров масс сплошного диска и вырезанного малого диска.

Ответ: .

Рис. 4.7.

Задача 4.6. Человек массы стоит на краю неподвижного плота массы и длиной , находящегося на поверхности пруда. Человек перешел на другой конец плота. На какое расстояние переместится конец плота? Человека считать материальной точкой. Сопротивлением воды движению плота пренебречь.

Указание. Воспользоваться тем, что на систему "человек-плот" не действуют внешние горизонтальные силы. Поэтому горизонтальная координата центра масс системы не изменится при перемещении человека. Горизонтальную ось , вдоль которой определяются координаты человека, плота и их общего центра масс, связать с берегом пруда или с неподвижной водой.

Ответ: Плот сместится на величину в сторону, противоположную той, в которую двигался человек.