4.10. Уравнение движения материальной точки

В классической механике сила, действующая на частицу, может зависеть от времени (переменное силовое поле), положения частицы в пространстве, то есть ее радиуса-вектора , и от скорости частицы . Второй закон Ньютона позволяет решить задачу о движении материальной точки (частицы) под действием заданной силы . Запишем его в виде

, (4.11)

с учетом того, что ускорение точки . Равенство (4.11) называется уравнением движения частицы. Неизвестным в нем является радиус-вектор . С математической точки зрения, (4.11) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции . Для его однозначного решения должны быть известны начальные условия, например, начальная скорость и начальный радиус-вектор .

Пример 4.3. Частица массы находится в постоянном (не зависящем от времени) однородном силовом поле, в каждой точке которого на частицу действует одна и та же сила . Начальный радиус-вектор и начальная скорость заданы. Найти зависимость радиуса-вектора частицы от времени.

Воспользуемся уравнением движения (4.11):

. (4.12)

Обозначим: , где - ускорение частицы, одинаковое во всех точках пространства. Уравнение (4.12) приобретает вид (3.37). В результате последовательного двойного интегрирования и использования начальных условий получим зависимость вида (3.39). Итак, в постоянном однородном силовом поле движение частицы является равноускоренным.

Второй закон Ньютона, записанный в виде (4.11), может быть применен и для решения обратной задачи, а именно - для нахождения силы, действующей на частицу, движение которой задано, то есть известна зависимость .

Пример 4.4. Частица массы движется с постоянной скоростью по окружности радиуса . Найти силу, действующую на частицу.

Ускорение равномерно вращающейся точки имеет лишь нормальную к окружности составляющую, отличную от нуля, см. формулы (3.49) - (3.51). Применяя второй закон Ньютона, найдем искомую силу:

, (4.13)

которая направлена к центру окружности и называется центростремительной силой.

Рис. 4.5.

Пример 4.5. Самолет совершает "мертвую петлю", двигаясь в вертикальной плоскости по окружности радиуса с постоянной скоростью , рис. 4.5. Найти вес летчика массы в верхней, нижней и средней точках петли. Примечание. Весом тела называется сила, с которой оно действует на опору или подвес.

Найдем вес летчика в точке петли , которой соответствует угловая координата , рис. 4.5. Так как вращение равномерное, результирующая сила , действующая на летчика, определяется формулой (4.13), в которой следует положить , , - орты осей , . Сила складывается из силы тяжести и силы реакции опоры , которая действует на летчика со стороны сидения и привязных ремней:

,

.

Проектируя на оси , , находим:

.

По третьему закону Ньютона, летчик действует на опору с силой . Находим:

.

Полагая , и , найдем вес летчика в точках , , :

,

,

.

Задача 4.3.

На частицу массы действует сила , где - постоянная, - постоянный вектор. Найти зависимость от времени радиус-вектора частицы при начальных условиях , .

Ответ: .

Задача 4.4.

Камень массы падает с нулевой начальной скоростью. Сила сопротивления воздуха, действующая на камень, пропорциональна его скорости, , где - постоянная, и направлена навстречу движению камня. Найти зависимость скорости камня от времени.

Ответ: .