4.8. Законы Ньютона как логическая система

Первый закон Ньютона, рассматриваемый традиционно, а также из методических соображений, как отдельный закон, является частным случаем второго закона. Действительно, полагая в (4.3) , получим , что соответствует движению материальной точки с постоянной скоростью.

Во второй закон Ньютона входят сразу две новые физические величины - масса и сила. Хотя бы для одной из этих величин должен быть установлен способ измерения, после чего, используя второй закон, можно измерять и вторую величину. Например, если установлен какой-либо способ измерения массы частицы, то действующую на нее силу можно определить из соотношения (4.3), измерив предварительно ускорение частицы. Для измерения массы частицы, то есть сравнения с массой эталонной частицы, можно, как отмечалось выше, воздействовать на обе частицы одинаковыми по величине силами, измерить ускорения частиц и воспользоваться формулой (4.4). Однако, второй закон не дает указаний на то, каким образом можно воздействовать на две разные частицы заведомо одинаковыми по модулю силами, и в этом смысле второй закон не является самодостаточным. На такой способ указывает третий закон Ньютона. Действительно, чтобы воздействовать на две частицы равными силами, следует привести их во взаимодействие друг с другом, изолировав от внешних воздействий. Таким образом, третий закон Ньютона является неотъемлемым дополнением второго закона, придающим ему логическую завершенность.

4.9. Применение законов Ньютона к поступательному движению твердых тел

Поступательным называется такое движение твердого тела (ТТ), при котором все точки тела в любой момент времени имеют одинаковую скорость . Ускорение для всех точек ТТ при этом также одинаково в любой момент времени.

Рассматривая ТТ как совокупность материальных точек с массами , применим к ним второй закон Ньютона:

,

где - результирующая сила, действующая на материальную точку с номером , и - действующие на нее внутренняя и внешняя силы. Суммируя эти уравнения для всех материальных точек, составляющих твердое тело, получим с учетом равенства нулю суммы внутренних сил:

,

где - результирующая внешняя сила, действующая на ТТ, - масса твердого тела. Таким образом, к поступательно движущимся твердым телам применим второй закон Ньютона.

Пример 4.2. Найти ускорение поступательно движущихся грузов с массами и в системе, называемой машиной Атвуда, рис. 4.4. Грузы связаны нерастяжимой нитью. Масса нити пренебрежимо мала и ее можно считать невесомой. Диск, через который перекинута нить, не вращается. Нить скользит по диску без трения. Сопротивлением воздуха движению грузов пренебречь.

Рис. 4.4.

Рассмотрим участок нити . Обозначим через , силы натяжения нити в точках и . Ввиду невесомости нити действующую на малый элемент результирующую силу следует положить равной нулю, так как , где - масса элемента , - его ускорение. Заключаем, что , следовательно, натяжение нити одинаково в точках и . Аналогичное рассуждение можно провести применительно к элементу нити, соприкасающемуся с диском, учитывая при этом равенство нулю силы трения между диском и нитью. Итак, , где , - силы, действующие на грузы со стороны нити. Грузы движутся поступательно. Применим второй закон Ньютона, учитывая действие на грузы силы натяжения нити и силы тяжести:

.

Ввиду нерастяжимости нити ускорения грузов одинаковы по модулю. Учитывая, что один из грузов движется вверх, а другой вниз, заключаем, что . Получим, складывая предыдущие уравнения:

,

.

Подставляя в выражения для и , находим:

.

Задача 4.2. Аэростат массы начал опускаться с ускорением . Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: .