9. Классическое правило сложения скоростей

Пусть имеются две системы отсчета и , одноименные оси которых параллельны, причем система движется относительно "неподвижной" системы так, что ось скользит вдоль оси , рис. 3.7.

Введем следующие обозначения:

- радиус-вектор начала относительно начала в системе отсчета ;

- радиус-вектор точки относительно начала в системе отсчета ;

- радиус-вектор точки относительно начала в системе отсчета ;

- радиус-вектор точки относительно начала в системе отсчета ;

- время по часам системы отсчета ;

- время по часам системы отсчета .

Рис. 3.7.

В классической механике пространство считается абсолютным в том смысле, что расстояние между какими-либо двумя точечными объектами полагается одинаковым во всех системах отсчета. В частности, согласно этим представлениям о свойствах пространства следует считать, что длины и отрезка в системах отсчета и одинаковы, . Это означает одинаковость вектора в обеих системах отсчета, что выражается равенством

. (3.53)

Время в классической механике также считается абсолютным, промежуток времени между какими-либо двумя событиями одинаков в различных системах отсчета. Это свойство времени можно выразить равенством

, (3.54)

если считать, что время в обеих системах начинает отсчитываться от одного события. Примем за такое "нулевое" событие прохождение точкой через начало . В момент совпадения начал имеем .

В каждой из выбранных систем отсчета выполняется обычное правило сложения векторов. В частности, в системе имеем

.

В соответствие с (3.53) это равенство можно записать в виде

. (3.55)

Продифференцируем (3.55) по , получим:

, (3.56)

где - скорость точки в системе отсчета , - скорость начала в системе , называемая скоростью движения системы относительно системы . С учетом (3.54) имеем

,

где - скорость точки относительно системы . Ввиду последнего равенства из (3.56) получим

. (3.57)

Формула (3.57) выражает так называемое классическое правило сложения скоростей. При ее выводе существенным образом использованы классические представления об абсолютности пространства и времени.

Можно показать, что закон (3.57) сложения скоростей выполняется не только для систем отсчета, изображенных на рис. 3.7, но и в общем случае поступательного движения одной системы отсчета относительно другой, при котором системы не вращаются друг относительно друга, так что углы между одноименными координатными осями и , и , и не меняются с течением времени.

Рис. 3.8.

Задача 3.9. С юга на север из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно , летит самолет. Его скорость в отсутствие ветра была бы равна . Под углом к меридиану дует ветер, его скорость относительно земли равна . Под каким углом к меридиану должен держать курс самолет? За какое время он завершит полет?

Ответы: .

Указание. Связать с землей неподвижную систему отсчета, а с воздухом - систему, движущуюся относительно земли со скоростью, равной скорости ветра, Применить закон сложения скоростей , где - скорость самолета относительно земли, - его скорость относительно движущегося воздуха, - скорость воздуха относительно земли. Спроектировать это векторное равенство на координатные оси, рис. 3.8. Учесть, что .