3.4. Линейная скорость и линейное ускорение при движении по криволинейной траектории

Рис. 3.3.

При движении точки по криволинейной траектории , рис. 3.3, ее положение на траектории можно задавать смещением от некоторой точки . Смещение можно назвать координатой точки вдоль траектории . Условно выбирается положительное направление движения по траектории. Смещение может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от того, с какой стороны от начала находится точка .

Линейная скорость и линейное ускорение определяются теми же формулами (3.3), (3.4), что и в случае прямолинейного движения. Пройденный точкой путь вдоль траектории определяется формулой (3.15), в которой следует положить , а средняя путевая скорость - формулой (3.16).

В каждой точке траектории точка движется как бы по окружности некоторого радиуса , который называется радиусом кривизны траектории в точке . Радиус кривизны в общем случае различен в разных точках траектории .

Движение по прямой линии можно считать движением по траектории с бесконечным радиусом кривизны.

3.5. Скорость и ускорение при криволинейном движении

Полное описание движения точки относительно выбранной системы отсчета сводится к заданию трех ее декартовых координат , , как функций времени или, что равноценно, к заданию ее радиуса-вектора (см. рис. 1.1 и формулу (1.1)) как функции времени:

. (3.28)

Рис. 3.4.

Пусть в момент времени радиус-вектор, проведенный в точку , равен , рис. 3.4. Спустя время , то есть в момент , радиус-вектор равен . Смещение точки за промежуток времени равно

По аналогии с определениями, введенными при рассмотрении прямолинейного движения, имеем для средней скорости криволинейного движения

. (3.29)

Переходя к пределу получим мгновенную скорость точки :

. (3.30)

Скорость точки равна производной ее радиуса-вектора по времени. При вектор стремится к нулю, а его направление стремится к направлению касательной к траектории. Поэтому вектор мгновенной скорости направлен в каждой точке траектории по касательной к ней.

Ускорение равно производной вектора скорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени,

. (3.31)

С учетом (3.30) имеем:

, ,

где - путь, проходимый точкой за бесконечно малое время . Путь , проходимый за конечный промежуток времени между моментами и , равен

. (3.32)

Подставляя (3.28) в (3.30), получаем

(3.33)

то есть проекции вектора скорости равны производным по времени соответствующих проекций радиуса-вектора.

Подставляя (3.32) в (3.31), получим соответствующие выражения для ускорения:

(3.34)

Таким образом, проекции вектора ускорения на координатные оси равны производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат точки .

Пример 3.5. Радиус-вектор точки меняется со временем по закону

, (3.35)

где и - постоянные, и -орты осей и .

Найти: а) зависимости от времени скорости , ускорения и модулей этих величин; б) зависимость от времени угла между векторами и ; в) уравнение траектории точки .

Проектируя (3.35) на координатные оси, получим зависимости координат точки от времени

. (3.36)

Таким образом, движение точки происходит в плоскости , то есть в плоскости . В соответствие с (3.30) и (3.31)

.

Находим , , :

Выразим время через из 1-го равенства (3.36) и подставим во второе равенство. Получим уравнение траектории

Таким образом, точка движется по параболе.

Задача 3.5. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где - постоянный вектор, - положительная постоянная. Найти:

а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени;

б) промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь , который она пройдет при этом.

Ответ: а) , ; б) , .