3.3. Угловая и линейная скорости и угловое ускорение при движении по окружности

В природе и технике часто встречается движение по окружности тел, которые можно считать точечными.

Рис.3.2.

Положение точки на окружности удобно задавать углом , который образует радиус-вектор точки с каким-либо неизменным направлением, например, с осью , рис. 3.2. Этот угол называется угловой координатой точки .

Пусть в момент времени угловая координата равна . Спустя время она станет равной . Угловое смещение точки за время равно

.

Средняя угловая скорость за промежуток времени равна

.

Переходя к пределу получим мгновенную угловую скорость точки в момент времени

. (3.17)

Она равна производной угловой координаты по времени.

Из (3.17) имеем

, (3.18)

где - угол, проходимый точкой за бесконечно малое время .Если угловая скорость постоянна, то, интегрируя (3.18), получим

, , (3.19)

где - постоянная интегрирования, имеющая смысл начальной угловой координаты. При таком равномерном вращении точки по окружности используют величину, называемую частотой обращения,

, ,

равную числу оборотов, совершаемых вращающейся точкой за единицу времени. Время, за которое совершается один оборот, называется периодом вращения:

, .

В общем случае угловая скорость зависит от времени, . Производная угловой скорости по времени называется угловым ускорением

. (3.20)

Обозначим через элементарное смещение точки по окружности за бесконечно малое время . Линейная скорость точки равна:

, (3.21)

где - смещение точки по окружности, отсчитываемое от точки пересечения окружности с осью ,

, (3.22)

- радиус окружности. Подставляя (3.22) в (3.21), получим с учетом (3.17) связь между линейной и угловой скоростями:

, (3.23)

Будем считать, что угловая координата точки отсчитывается против часовой стрелки, как показано на рис 3.2. Тогда угол , проходимый за время , будет положительным, если точка в течение промежутка времени вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если она вращается по часовой стрелке. Соответственно, угловая и линейная скорости, как это следует из (3.17), (3.23), будут положительны при вращении точки против часовой стрелки и отрицательны при вращении по часовой стрелке. Абсолютное значение скорости , где .

Путь , проходимый вращающейся точкой за промежуток времени от момента до момента , определяется формулой (3.15) в которой равно линейной скорости .

Линейное ускорение вращающейся точки определяется формулой

(3.24)

и по своему смыслу аналогично ускорению при прямолинейном движении. Подставляя (3.22) в (3.24), получим связь между угловым и линейным ускорениями

. (3.25)

Эта связь такая же, как между угловой и линейной скоростями.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все точки тела движутся с одинаковой угловой скоростью, что позволяет говорить об угловой скорости или угловом ускорении тела.

Пример 3.4. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где - его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна . Имеем

, , (3.26)

где - коэффициент пропорциональности; знак минус учитывает, что вращение тела замедляется. Подставляя в (3.26) и разделяя переменные и , получим

Интегрируя находим

Константа интегрирования находится из начального условия . Получим . Тогда

. (3.27)

В момент остановки угловая скорость тела равна нулю. Из (3.27) находим

.

Вычислим угол поворота тела за время от до . Имеем

, ,

.

Поделив угловое смещение на время , за которое оно произошло, получим среднюю угловую скорость тела за время его движения

.

Задача 3.4. Угловая координата частицы, вращающейся по окружности радиуса , зависит от времени по закону: . Найти: угловую скорость ; угловое ускорение ; линейную скорость ; линейное ускорение .

Ответ: ; ; ; .