53 Г лава 3. Кинематика точки

Глава 3. Кинематика точки

3.1 Кинематическое описание движения

Кинематика занимается описанием движения тел, отвлекаясь от его причин. Для описания движения выбирается система отсчета (СО). При выборе СО исходят обычно из соображений удобства. Так, при рассмотрении движения тела относительно Земли естественно связать систему отсчета с Землей. Если же рассматривается движение самой Земли в пространстве, то удобно связать СО с Солнцем.

Движение материальной точки будет полностью описано, то есть информация о нем будет максимально полной, если известно положение материальной точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Зная зависимость координат точки от времени, можно получить и другие важные характеристики движения - скорость и ускорение.

Методы описания движения материальной точки применимы к движению любого точечного объекта, например, световой точки от луча лазера по какой-либо поверхности.

Отметим, что для описания движения тел иногда удобно пользоваться цилиндрической, сферической и другими криволинейными системами координат.

3.2 Прямолинейное движение

Рис. 3.1.

Пусть точка движется по прямой линии. Примем эту линию за координатную ось и выберем на ней начало . Положение точки определяется заданием ее координаты по оси . Пусть в момент времени точка имеет координату и находится в положении , рис. 3.1. Спустя время , то есть в момент , точка имеет координату и занимает положение . Смещение точки за время равно:

(3.1)

В зависимости от того, сместилась точка в положительном или отрицательном направлении оси , смещение будет положительным либо отрицательным.

Определение. Отношение смещения материальной точки к промежутку времени, за который оно произошло, называется средней скоростью смещения за этот промежуток времени:

. (3.2)

Пример 3.1. Найдем среднюю за время скорость смещения материальной точки, движущейся вдоль оси так, что ее координата зависит от времени по закону , где - постоянная.

Вычислим смещение точки:

.

Промежуток времени движения . Находим:

.

Введем характеристику движения, называемую мгновенной скоростью. Для этого устремим к нулю. При этом также стремится к нулю, а отношение стремится к определенному пределу , который и называется мгновенной скоростью точки в момент ,

.

В соответствии с определением понятия производной имеем:

. (3.3)

Здесь и далее знак точки над функцией означает производную функции по времени. Итак, мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки равна производной ее координаты по времени.

Мгновенная скорость точки в общем случае также есть функция времени, . Производная мгновенной скорости точки по времени называется ускорением

. (3.4)

Можно сказать, что ускорение есть отношение приращения скорости за бесконечно малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Из (3.3), (3.4) следует, что ускорение является второй производной координаты точки по времени

. (3.5)

Пусть материальная точка движется вдоль оси так, что ее координата зависит от времени по закону

, (3.6)

где и - постоянные.

Определим скорость и ускорение точки. Имеем:

, (3.7)

.

Таким образом, линейная зависимость (3.6) координаты от времени соответствует движению точки с постоянной скоростью, которое называется равномерным движением. Ускорение при равномерном движении равно нулю.

Координата точки в момент времени называется начальной координатой. Из (3.6) при находим, что . Поэтому, учитывая также (3.7), можно записать (3.6) в виде

, . (3.8)

Зависимость координаты от времени, выражаемая формулой (3.6), называется уравнением равномерного прямолинейного движения.

Пусть материальная точка движется вдоль оси так, что ее координата зависит от времени по закону

, - постоянные. (3.9)

Вычислим скорость и ускорение точки:

, (3.10)

. (3.11)

Таким образом, квадратичная зависимость координаты от времени соответствует движению точки с постоянным ускорением - равноускоренному движению. Из (3.9) находим, что есть начальная координата точки, . Из (3.10) следует, что есть скорость в момент времени , то есть начальная скорость. Обозначим ее через . Тогда (3.9) можно записать в виде

. (3.12)

Зависимость координаты от времени, выражаемая формулой (3.12), называется уравнением прямолинейного равноускоренного движения. Зависимость скорости от времени при таком движении имеет вид

. (3.13)

В общем случае ускорение зависит от времени. При этом формулы (3.12), (3.13) неприменимы.

Из (3.3) следует, что , где - смещение за бесконечно малое время . Величина есть путь, проходимый за время . В отличие от , всегда больше нуля:

. (3.14)

Интегрируя (3.14) в пределах от до , , найдем путь , пройденный точкой за время от момента до момента :

. (3.15)

Средняя путевая скорость точки равна:

. (3.16)

Пример 3.2. Точка движется вдоль оси с начальной скоростью и постоянным ускорением . В момент координата точки равна нулю. Найдем смещение точки и пройденный ею путь за время от момента до момента .

Из (3.12) имеем, полагая :

,

, ,

.

Из (3.13) находим

,

Воспользуемся формулой (3.15) и свойствами определенного интеграла

Итак, смещение точки равно нулю, она вернулась к моменту в исходное положение . Пройденный точкой путь при этом отличен от нуля.

Примечание. При подстановке в формулы скорости и ускорения их размерности опускались. Поскольку численные значения этих величин брались в системе СИ, то пройденный путь также получается в единицах системы СИ, то есть в метрах.

Пример 3.3. Скорость точки, движущейся вдоль оси , зависит от ее координаты по закону

,

где - постоянная. Начальная координата равна нулю. Найдем зависимость координаты и скорости точки от времени.

Учитывая, что , получим дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции

.

Разделяя переменные, получим

Постоянная определяется из начального условия. Полагая , , получим . При этом

.

Подставляя в (3.16), получим зависимость :

.

Задача 3.1. Точка прошла половину пути со скоростью . На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью , а последний участок прошла со скоростью . Найти среднюю скорость движения точки.

Ответ: .

Задача 3.2. Координата частицы, движущейся вдоль оси , зависит от времени по закону: , где , , - постоянные. Найти зависимость от времени скорости и ускорения частицы.

Ответ: , .

Задача 3.3. Скорость точки, движущейся вдоль оси , зависит от времени по закону: . Найти:

а) смещение за время ;

б) ускорение точки, как функцию времени;

в) среднюю путевую скорость .

Ответ: а) ; б) ; в) .