U – критерий Манна-Уитни

1. Статистические гипотезы:

: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

2. Вычислим эмпирическое значение критерия:

   1. проранжировать все значения испытуемых, как если бы они принадлежали одной выборке, всего должно получиться столько рангов, сколько элементов в двух выборках вместе;

   2. подсчитать сумму рангов в каждой из групп по отдельности, выполнить проверку ранжирования;

   3. определить большую из ранговых сумм ;

   4. определить значение , где – число испытуемых в выборке 1 и 2 соответственно, – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

3. По заданному уровню значимости и объемам выборок и определить критические значения .

4. Правило вывода: если , то принимается гипотеза ; если , то отвергается гипотеза .

Пример. Были обследованы студенты физического и психологического факультетов по уровню невербального интеллекта. Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Студенты-физики	Студенты-психологи
111	113
104	107
107	123
90	122
115	117
107	112
106	105
107	108
95	111
116	114
127	102
115	104
102
99

Проранжируем выборки.

Студенты-физики		Студенты-психологи
90	1
95	2
99	3
102	4,5	102	4,5
104	6,5	104	6,5
		105	8
106	9
107	11,5	107	11,5
107	11,5
107	11,5
		108	14
111	15,5	111	15,5
		112	17
		113	18
		114	19
115	20,5
115	20,5
116	22
		117	23
		122	24
		123	25
127	26
	165		186

Общая сумма рангов: . Расчетная сумма равна .

Сформулируем гипотезы:

: Уровень признака в группе студентов-физиков не ниже уровня признака в группе студентов-психологов.

: Уровень признака в группе студентов-физиков ниже уровня признака в группе студентов-психологов.

Тогда , .

Вычислим эмпирическое значение критерия .

Найдем критическое значение: .

Так как , то принимается гипотеза . Таким образом, группы студентов-физиков и студентов-психологов можно считать равными.

H – критерий Крускала-Уоллиса

1. Статистические гипотезы:

: Между выборками существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

: Между выборками существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

2. Вычислим эмпирическое значение критерия:

   1. проранжировать все значения испытуемых, как если бы они принадлежали одной выборке, всего должно получиться столько рангов, сколько элементов во всех выборках вместе;

   2. Подсчитать сумму рангов в каждой из групп по отдельности, выполнить проверку ранжирования;

   3. Определить значение , где – общее число испытуемых, – ранговые суммы в каждой группе, – количество испытуемых в группе.

3. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число отдельных групп, определить критические значения .

4. Правило вывода: если , то гипотеза отвергается; если , то принимается.

Пример. При проведении эксперимента по исследованию интеллектуальной настойчивости испытуемым предъявлялись неразрешимые анаграммы. Исследованию подвергались четыре группы испытуемых, каждой группе предъявлялись разные анаграммы. Необходимо проверить, что различие во времени решения анаграмм не связана с предложенной задачей.

№	Группа 1	Группа 2	Группа 3	Группа 4
1	145	145	128	60
2	194	210	283	2361
3	731	236	469	2416
4	1200	385	482	3600
5		720	1678
6		848	2081
7		905
8		1080

Сформулируем гипотезы:

: 4 группы испытуемых не различаются по длительности попыток их разрешения.

: 4 группы испытуемых различаются по длительности попыток их разрешения.

Вычислим эмпирическое значение критерия.

Заполним таблицу для ранжирования

№	Группа 1		Группа 2		Группа 3		Группа 4
	Данные	Ранг	Данные	Ранг	Данные	Ранг	Данные	Ранг
							60	1
					128	2
	145	3,5	145	3,5
	194	5
			210	6
			236	7
					283	8
			385	9
					469	10
					482	11
			720	12
	731	13
			848	14
			905	15
			1080	16
	1200	17
					1678	18
					2081	19
							2361	20
							2416	21
							3600	22
Сумма		38,5		82,5		68		64

Сумма рангов равна , контрольная сумма .

Вычислим критическое значение .

Поскольку , то принимается нулевая гипотеза. Таким образом, группы можно считать равными.

T-критерий Вилкоксона