Синтез модального закону керування

Власні числа і власні вектори оператора або матриці в додатках часто називають модами. Набір власних чисел також називають спектром матриці.

Задача модального керування полягає в побудові такої матриці , щоб власні числа матриці збігалися з заданим спектром . Якщо така матриця знайдена, то поведінка системи

(6.14)

при використанні закону керування буде визначатися модами . Якщо при цьому , то система

буде асимптотично стійкою, тобто буде виконуватися при для будь-якого початкового стану .

Процедуру побудови матриці розглянемо на випадок скалярного керування . Матриця тоді є рядком , вектором–стовпцем. Будемо вважати систему керованою, тобто . У такому випадку вектори лінійно-незалежні.

Позначимо рядок , де коефіцієнти полінома . Розглянемо спектр такий, що . Вони можуть бути як дійсними, так і комплексними. У полінома всі коефіцієнти є дійсними числами.

Знайдемо таку матрицю , для якої б виконувалась умова .

Розглянемо матрицю . Маємо і .

Нехай .

Оскільки , то

.

Для виконання , необхідно прирівняти коефіцієнти при однакових степенях . В результаті отримуємо , або

, тобто

. (6.15)

Розв‘язок задачі модального керування задається формулою (6.15).

Приклад. Досліджувана система представлена моделлю з простором станів

, де , .

Необхідно побудувати керування за заданим спектром

Розв’язання.

Характеристичний поліном матриці А другого порядку в загальному вигляді є таким:

.

Знайдемо його за правилом обчислення визначника

.

Отже, коефіцієнти характеристичного полінома

За заданим спектром – коренями квадратного рівняння – відтворимо заданий характеристичний поліном.

.

Його коефіцієнти

Закон керування системою шукаємо у вигляді . При цьому невідому матрицю знаходимо за формулою . Матриця R є матрицею ,що дозволяє отримати еквівалентну заданій модель з простором станів, у якої подібною до матриці А буде її матриця Фробеніуса. Отже,

Для побудови матриці переходу використаємо систему похідних

поліномів матриці А другого порядку:

.

Щоб уникнути обчислення оберненої матриці , невідому матрицю Р знайдемо з рівняння . Ця рівність для нашої задачі має такий вигляд:

.

Розв’язуємо систему

Отже, математичний закон керування побудовано.

Завдання 6.1 Побудувати модальне керування системою з відомою моделлю з простором станів, де матриця , за заданим спектром із таблиці 6.1.

Таблиця 6.1.

Варіант	Заданий спектр	Спектр матриці А
1	2	3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Продовження таблиці 6.1
1	2
22
23
24
25
26