Різницеві рівняння

Різницеві рівняння широко використовуються для математичного моделювання процесів і систем у дискретному часі. Зокрема, вони є основним апаратом для опису систем з мікропроцесорним керуванням або керуванням за допомогою ПЕОМ. Особливо широко вони використовуються при моделюванні економічних і організаційно-виробничих систем.

Різницеві рівняння у загальному вигляді описуються як

, (2.1)

де і

Розв’язком різницевого рівняння (2.1), що відповідає початковому стану , називається вектор-функція , така, що і для всіх k виконується

.

Розв’язок різницевого рівняння (2.1) завжди існує і може бути отриманий рекурентно. Наприклад, для інтервалу часу :

,

,

.

Існують класи різницевих рівнянь, для яких розв’язок може бути отриманий в явному аналітичному вигляді.

Лінійні стаціонарні різницеві рівняння

Рівняння (2.1) називається лінійним, якщо функція лінійна по x, тобто , де - матриця.

Отже, лінійне рівняння має вигляд

. (2.2)

Рівняння (2.2) називається стаціонарним, якщо елементи матриці не залежать від дискретної змінної k, тобто якщо A – постійна матриця.

Далі скрізь будемо вважати, що сума дорівнює нулю, якщо . Покажемо, що загальний розв’язок стаціонарного рівняння визначається формулою

, . (2.3)

Підставивши вираз для в праву частину (2.2), одержимо

.

Таким чином, функція (2.3) задовольняє рівняння (2.2). Також виконується .

Лінійні нестаціонарні різницеві рівняння

Нехай елементи матриці A змінюються зі зміною k. Знайдемо формулу загального розв’язку для цього випадку.

Визначимо матрицю двох аргументів k і j для як і для як

.

Вона має такі властивості:

1) для ;

2)

і називається фундаментальною матрицею рівняння (2.2). Покажемо, що функція , визначена як

, (2.4)

є розв’язком рівняння (2.2) для будь-яких m і , тобто (2.4) визначає загальний розв’язок (2.2).

Після підстановки (2.4) у ліву частину рівняння (2.2) одержимо

.

Підставивши (2.4) у праву частину (2.2), одержимо

,

тобто (2.2) виконується при будь-яких k, m і .

Порівнюючи (2.3) і (2.4), знаходимо, що для стаціонарних систем .

У додатках виникають задачі, що описуються моделями в зворотному часі ,тобто коли аргумент k не росте, а зменшується. Тому розглянемо лінійне різницеве рівняння у зворотному часі:

, , (2.5)

де . Визначимо матричну функцію для як і для .

Вона має властивості :

1) для всіх ;

2)

і називається фундаментальною матрицею.

Аналогічно можна одержати, що загальний розв’язок рівняння (2.5) описується як , .

Рівняння (2.2) і (2.5) називаються спряженими, якщо справедливою є рівність .

Для спряжених рівнянь фундаментальні матриці пов'язані співвідношенням

.

Випадкові величини і випадкові послідовності

Функція називається неперервною справа у точці r, якщо ,

і неперервною зліва, якщо .

Говорять, що визначено випадкову величину , якщо на множині дійсних чисел R задана неперервна справа функція , що має такі властивості :

1) для ;

2) для ;

3) і .

Ця функція визначає імовірність того, що набуває значень з інтервалу , як

.

Функція називається функцією розподілу імовірностей величини .

Якщо для деяких і виконується і , то говорять, що розподілена на множині .

Якщо функція неперервна, то

.

Далі будемо розглядати такі випадкові величини, для яких відповідні є диференційованими функціями.

Функція називається щільністю розподілу імовірностей випадкової величини . Для щільності маємо

.

Імовірність події визначається за допомогою функції як

.

Математичним сподіванням випадкової величини , що позначається як , називається число , а дисперсією називається число

, де .

Дві випадкові величини і називаються незалежними, або некорельованими, якщо . Величина характеризує зв'язок між і , називається коваріацією і позначається як .

Для попарно незалежних випадкових величин виконується

.

Коефіцієнтом кореляції випадкових величин і називається число . Для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю.

Випадкова величина називається гаусівською, або нормальною, якщо її щільністю розподілу є функція

.

При цьому і . Параметри і цілком характеризують цю випадкову величину, тому їх зазначають при записі щільності , тобто пишуть .

Багатовимірною, або векторною випадковою, величиною називається вектор , кожна компонента якого є випадковою величиною.

Векторна випадкова величина називається гаусівською, якщо її щільність розподілу має вигляд

,

де вектор m і симетрична додатно визначена матриця R задані. При цьому і .

Матриця R називається коваріаційною матрицею.

Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень має скінченне число елементів. У цьому випадку її функція розподілу цілком визначається скінченним набором чисел , де і . Для кожного i число визначає імовірність того, що набуває значення ,і це записується як . У цьому випадку математичне сподівання і дисперсія визначаються як і .