Лінійні оператори і матриці

Нехай X - n-вимірний простір і Y - m- вимірний простір. Оператор - це відображення А : X Y. Зазвичай це записується як у = А(х), де х Х і y .

Оператор А називається лінійним, якщо для будь-яких і відповідних у¹=А(х¹) і у²=А(х²) виконується:

1)А(х¹+х²)=у¹+у²=А(х¹)+А(х²);

2)А( х¹) = .

З урахуванням цих властивостей лінійності для лінійного оператора А(х) дужки можна не писати, тобто писати Ах.

Елементи n- вимірного лінійного простору можна зобразити у вигляді стовпців з п чисел, а оператори у вигляді прямокутних таблиць чисел.

Виберемо в X базис v₁,... ,v_n. Тоді для будь-якого х Х однозначно визначаються його координати х₁,...,х_п у цьому базисі. Розглянемо множину { }. Поставимо у відповідність кожному векторові х Х стовпець col(x₁,..., х_п) його координат у базисі v₁;...,v_n. Тим самим буде визначений оператор Q : X R^n. Можна показати, що Q є лінійним, взаємно однозначним і відображає X на все R^n. Тому можна вивчати властивості об'єктів лінійного простору X, досліджуючи властивості Rⁿ.

Отже, кожен вектор х можна описати набором з п чисел і вивчати тільки такі набори. Розглянемо тепер абстрактний лінійний оператор А^а : X Y. Виникає питання, чи не можна його описати числами, як і вектори. Виявляється, це можливо, для чого фіксуємо базис v₁, ...,v_n у X і базис z₁,..., z_m у Y.

Вектор A^av_i для кожного i належить Y, тому його можна однозначно розкласти за базисом в У.

У результаті одержуємо

у₁ = A^av₁ = a₁₁ z₁ + a₂₁z₂ + ... +a_m1z_m,

у₂ = A^av₂ = a₁₂ z₁ + a₂₂z₂ + ... +a_m2z_m,

.............................................................

y_n = A^av_n = a_1n z₁+a_2nz₂+ ... + a_mnz_m,

де числа - коефіцієнти розкладань за базисом визначаються однозначно. В обраних базисах вектор х Х має координати (x₁,..., х_п) і y Y - координати (у₁,..., у_т ). Тоді маємо

А^ах = х₁А^а v₁ + x₂A^av₂ + ... + x_nA^av_n =

=x₁(a₁₁z₁+a₂₁z₂+...+a_m1z_m)+...+x_n(a_1nz₁+a_2nz₂+...+a_mnz_m)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n)z₁+...+(a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n)z_m =y₁z₁ + y₂z₂ + ... + y_mz_m.

Оскільки розкладання за базисом єдине, то звідси маємо визначення координат вектора у через координати вектора х у вигляді

.

Матрицею розміру mxn називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і п стовпчиків. Складемо матрицю А з коефіцієнтів розглянутої системи , де i - номер рядка, а j - номер стовпчика, i=1,...,m, j = 1,...,n.

Введемо позначення - стовпець соl( ) та - стовпець col( ). Стовпець є n×l-матрицею.

Отже, якщо оператор А^а перетворює вектор х Х у вектор y Y, то координати вектора х, тобто стовпчик перетворюється у координати вектора у, тобто стовпчик , за формулою

.

Матриця А називається матрицею лінійного оператора А^а в базисах v₁, ...,v_n та z₁,..., z_m.

Таким чином, будь-який лінійний оператор, що відображає n-вимірний простір в m- вимірний, шляхом визначення базисів у цих просторах може бути зображеним m×n-матрицею. В інших базисах він матиме інше представлення матрицею.

Підпростори та площини

Множина в називається підпростором, якщо для будь-яких та з і будь-якого числа виконується та .

Підпростір сам є лінійним простором. Тому змістовним є поняття його розмірності .

Лінійним многовидом називається множина всіх таких точок , що можна подати у вигляді , де – деяка фіксована точка і пробігає всі точки деякого підпростору .

За визначенням вважаємо, що .

Лінійні многовиди з розмірністю нуль називаються точками, а одновимірні лінійні многовиди називаються прямими в .

Нехай – деякий одновимірний лінійний многовид , а - відповідний йому одновимірний простір. Будь-який базис в містить лише один вектор. Нехай - деякий базис в . Тоді будь-який вектор з можна однозначно представити як і будь-яка точка може бути представленою у вигляді

Це рівняння задає пряму за допомогою параметра , тому воно називається параметричним рівнянням прямої. Вектор називається напрямним.

Двовимірні, тривимірні і так далі вимірні лінійні многовиди називаються площинами відповідних розмірностей.

Гіперплощинами називаються вимірні лінійні многовиди.

Для параметричного представлення - вимірної площини треба обрати базис з векторів у лінійному підпросторі, який її породжує, і зафіксувати деяку точку в . Тоді площина описується рівнянням

.

Існує лінійно-незалежних векторів-рядків , таких, що . Помноживши зліва обидві частини параметричного рівняння площини на , потім на і так далі на , отримаємо систему рівнянь, що не містить параметрів , а саме систему

Отже, будь-яка точка задовольняє цю систему рівнянь, тобто - площини можуть бути описані системою з лінійних рівнянь. Для маємо,що гіперплощина описується одним рівнянням . Точки , що задовольняють два рівняння та , належать двом відповідним гіперплощинам, тобто належать їх перетину. Звідси випливає, що -вимірні площини є перетинами двох гіперплощин.

Аналогічно можна дійти висновку, що прямі в є перетинами гіперплощин.

Отже, площини в просторі можуть задаватися системою рівнянь.

Множина тих , для яких виконується , де - вектор-рядок, називається напівпростором.