Розділ 2 Елементи математичного забезпечення теорії систем Лінійний простір

Розглянемо - множину дійсних чисел і X - деяку множину. Говорять, що в X визначені операції додавання і множення на число, якщо описане правило, відповідно до якого для будь-яких х Х, у Х і будь-якого однозначно визначений елемент z X, що називається сумою х та у, що записується як z = х+у, і визначений елемент v X, що називається добутком х на число і записується як v = .

Множина X називається лінійним простором, якщо в ньому визначені операції додавання і множення на число, що задовольняють властивості:

1) x+y=y+x;

2) (х+у)+z = х+(у+z);

3) існує в X елемент, що позначається як 0, і такий, що для будь-якого х Х виконується х + 0 = х;

4) для будь-якого х Х існує елемент з X, який має назву зворотного до х, що позначається як –х, і такий, що х + (-х) = 0;

5) 1х = х для будь-якого х Х;

6)а( х)=(а )х для будь-яких a і х ;

7) ;

8)а(х + у) = ах + ay.

Елементи лінійного простору називаються векторами. Вектори називаються лінійно незалежними,якщо рівняння щодо невідомих має єдиний розв’язок (зрозуміло, що цим розв’язком є ), і називаються лінійно залежними, якщо розв’язків більше одного.

Треба зауважити, що для лінійно залежних , крім нульового, є й інший розв’язок , для якого існує i, таке, що .

Можна показати, що якщо - лінійно незалежні, а ,v_k+1 - лінійно залежні, то існують такі числа , що .

Будь-яка частина лінійно незалежних векторів є лінійно незалежною. Якщо - лінійно незалежні і розкладається за ними двома способами: , то .

Рангом набору векторів називається максимальне число лінійно незалежних векторів у цьому наборі.

Базисом лінійного простору X називається будь-який набір з максимально можливого числа лінійно незалежних векторів. Зауважимо, що число векторів у базисі може бути як скінченним, так і нескінченним.

Розмірністю лінійного простору називається число векторів у його базисі. Розмірність X позначається як dimХ.

Простір X називають n-вимірним, якщо його розмірність дорівнює п.

Якщо - базис у X, то для будь-якого х Х існують і єдині такі числа , які залежать від х, що виконується рівність . Іншими словами, розкладання будь-якого вектора за базисом єдине.

Як приклад розглянемо множину X, елементами якої є аналітичні функції у(х), 0<х<1. Операції додавання функцій і множення на число визначимо, як у математичному аналізі. У цьому випадку усі вісім умов лінійного простору виконуються. У курсі математичного аналізу доводиться, що будь-яка аналітична функція може бути подана у вигляді нескінченної суми , де числа визначаються функцією у(х) однозначно. Функції , k=0,1,... лінійно незалежні, і набір їх є одним з можливих базисів у X. Це приклад нескінченновимірного простору.

Коефіцієнти у розкладанні називаються координатами вектора х у базисі . При зміні базису координати вектора х змінюються.

Як приклад розглянемо X={ } -множину впорядкованих пар дійсних чисел. Додавання елементів у X і множення на число визначимо покоординатно. Тоді X стає лінійним простором. Розглянувши вектори е₁=(1,0) та е₂ = (0,1), знаходимо, що для будь-якого х=(х₁ ,х₂ ) виконується х=x₁e₁+х₂e₂, тобто пара е₁ ,е₂ є базисом у X, і в цьому базисі координатами будь-якого х = (x₁,х₂) є числа х₁ та х₂.

Розглянемо який-небудь інший базис в Х і знайдемо координати того самого вектора х = (х1,х2) у цьому базисі. Вектори лінійно незалежні, тому вони можуть бути базисом. Для визначення координат вектора (х1 ,х2 ) у базисі v1,v2 треба розв’язати рівняння (x1,x2) = , або (х1,х2) = (l,0) + (1,1) = ( ). Порівнюючи відповідні координати, одержуємо і, отже, . Отже, у базисі v1,v2 координатами вектора х=(х1 ,х2 ) є та х₂ .

Розглянемо множину усіх стовпців col(x₁,... ,х_п), де , і визначимо операції додавання і множення на число покоординатно. Можна показати, що всі умови лінійного простору виконуються, тобто ця множина є лінійним простором і він позначається як R_n.