Матриці Фробеніуса і Грама
Позначимо через Ik одиничну матрицю k-го порядкy. Блокова матриця
A11
A12
A21 A22 ,
де A11=col(0,…,0), A12=In-1, A21=β1, A22=(β2,…,βn,,), називається матрицею Фробеніуса. Вона цілком визначається елементами нижнього рядка β=(β1,β2,...,βn) і тому будемо позначати її як Fb(β).
Можна показати шляхом розкладання визначника за останнім рядком, що
XFb(β)= - β1 – β2 λ-….- βn λn-1+ λn.
Алгебраїчне доповнення елемента, що стоїть в n-му рядку і першому стовпчику матриці λI-Fb(β), дорівнює одиниці, тому характеристичний поліном матриці Фробеніуса збігається з його мінімальним поліномом.
Нехай еi - одиничний вектор, i-та координата якого дорівнює одиниці, а інші дорівнюють нулю, i=1, … , п. Тоді Fb(β)можна представити як
Fb(β)=(β1en ,e1 + β2 en,…,en-1 + βn en).
Якщо для матриці А існує такий вектор B, що rg(B,АВ,...,Аn-1В)=n, тo існує така невироджена матриця R, що R-1АR= Fb(β). У цьому випадку говорять, що матриця А може набути форми Фробеніуса.
Для доведення розглянемо похідні поліноми φ1(λ),…,φn(λ) матриці A. Оскільки
φj(A)B=
aiAi-j-1B,
де
an+1=1,
то з лінійної незалежності В,АВ,...,Аn-1В випливає лінійна незалежність векторів
φ1(Α)Β, φ2(Α)Β1, ..,φn(A)B.
Розглянемо матрицю R=(φ1(A)B,…,φn(Α)Β) і покажемо, що вона приводе матрицю А до форми Фробеніуса.
Позначимо
через ώi
i-й
рядок матриці R-1.
Тоді
маємо ώiφj(А)B=1
для i=j
і ιυίφj(Α)Β=0,
якщо i
j.
У результаті
одержимо
R-1AR=сol(ώ1,…, ώn)A(φ1(A)B, φ2(A)B,…, φn(A)B)=
=col(ώ1,…, ώn)( Aφ1(A)B, Aφ2(A)B,…, Aφn(A)B)=
=col(ώ1,…, ώn)((φ0(A)-a1I)B,…,(φn-1(A)-anI)B)=
=(-a1en,e1-a2en,…,en-1-anen)=Fb(-a1,…,-an)=Fb(-a).
Отже, матриця Фробеніуса, подібна до матриці А, має елементами нижнього рядка коефіцієнти полінома ΧA(λ) з протилежними знаками і виконується R-1В=R-1φn(Α)Β=еn .
Перейдемо до розгляду матриць Грама, що, зокрема, використовуються для встановлення лінійної залежності векторів.
Нехай задані вектори-стовпці υ1,…,υm . Утворимо з них n×m-матрицю. Позначимо V=(υ1,…,υm). Матриця Г(υ1,…,υm) = V*×V називається матрицею Грама.
υ
1*υ
1
υ1*υ2
…. υ1*υm
υ2*υ1 υ2*υ2 …. υ2*υm
Г(υ1,…,υm)= … … …. …….
υm*υ1 υm*υ2 …. υm*υm
Критерій Грама лінійної незалежності векторів υ1,…,υn полягає в тому, що detГ(υ1,…,υm) 0
Завдання 1.1. Для матриці А визначити:
характеристичний поліном та спектр матриці ;
матрицю переходу до матриці Фробеніуса;
подібні матриці Фробеніуса та Жордана.
Таблиця 1.1
Варіант Матриця А Стовпець В
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
-,77 |
-0,44 |
0,21 |
-0,18 |
-1,24 |
||||
1 |
0,45 |
1,23 |
0,06 |
0,00 |
0,88 |
||||
|
0,26 |
0,34 |
-1,11 |
,00 |
-0,62 |
||||
|
0,05 |
-0,26 |
0,34 |
-1,12 |
1,17 |
||||
|
-0,79 |
0,12 |
-0,34 |
-0,16 |
0,64 |
2 |
0,34 |
-1,08 |
0,17 |
-0,18 |
-1,42 |
|
0,16 |
0,34 |
-1,15 |
-0,31 |
0,42 |
|
0,12 |
-0,26 |
-0,08 |
-0,75 |
-0,83 |
|
-0,68 |
-0,18 |
0,02 |
0,21 |
-1,83 |
3 |
0,16 |
-0,88 |
-0,14 |
0,27 |
0,65 |
|
0,37 |
0,27 |
-1,02 |
-0,24 |
-2,23 |
|
0,12 |
0,21 |
-0,18 |
-0,75 |
1,13 |
|
-0,58 |
-0,52 |
0,03 |
0,00 |
-0,44 |
||||
4 |
0,31 |
-1,26 |
-0,36 |
0,00 |
-1,42 |
||||
|
0,12 |
0,08 |
-1,14 |
-0,24 |
0,83 |
||||
|
0,15 |
-0,35 |
-0,18 |
-1,00 |
1,42 |
||||
|
-0,82 |
-0,34 |
-0,12 |
0,15 |
1,33 |
||||
5 |
0,11 |
-0,77 |
-0,45 |
0,32 |
-0,84 |
||||
|
0,05 |
-0,12 |
-0,86 |
-0,18 |
1,16 |
||||
|
0,12 |
0,08 |
0,06 |
-1,00 |
-0,57 |
||||
Продовження таблиці 1.1 |
|
||||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|||
|
-0,87 |
0,23 |
-0,44 |
-0,05 |
-2,13 |
|
|||
6 |
0,24 |
-1,00 |
-0,31 |
0,15 |
0,18 |
|
|||
|
0,06 |
0,15 |
-1,00 |
-0,23 |
-1,44 |
|
|||
|
0,72 |
-0,08 |
-0,05 |
-1,00 |
-2,42 |
|
|||
|
-0,83 |
0,31 |
-0,18 |
0,22 |
1,71 |
7 |
-0,21 |
-1,00 |
0,33 |
0,22 |
-0,62 |
|
0,32 |
-0,18 |
-0,95 |
-0,19 |
0,89 |
|
0,12 |
0,28 |
-0,14 |
-1,00 |
-0,94 |
|
-0,87 |
0,27 |
-0,22 |
-0,18 |
-1,21 |
8 |
-0,21 |
-1,00 |
-0,45 |
0,18 |
0,33 |
|
0,12 |
0,13 |
-1,33 |
0,18 |
0,48 |
|
0,33 |
-0,05 |
0,06 |
-1,28 |
0,17 |
|
-0,81 |
-0,07 |
0,38 |
-0,21 |
0,81 |
9 |
-0,22 |
-0,92 |
0,11 |
0,33 |
0,64 |
|
0,51 |
-0,07 |
-0,91 |
-0,11 |
-1,71 |
|
0,33 |
-0,41 |
0,00 |
-1,00 |
1,21 |
|
-1,00 |
0,22 |
-0,11 |
0,34 |
-2,7 |
|
10 |
0,38 |
-1,00 |
-0,12 |
0,22 |
1,5 |
|
|
0,11 |
0,23 |
-1,00 |
0,51 |
-1,2 |
|
|
0,17 |
-0,21 |
0,31 |
-1,00 |
0,17 |
|
|
-0,93 |
-0,08 |
0,11 |
-0,18 |
0,51 |
11 |
0,18 |
-0,48 |
0,00 |
0,21 |
-1,17 |
|
0,13 |
0,31 |
-1,00 |
-0,21 |
1,02 |
|
0,08 |
0,00 |
-0,33 |
-0,72 |
0,28 |
Продовження таблиці 1.1 |
|||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
-0,95 |
-0,06 |
-0,12 |
0,14 |
2,17 |
12 |
0,04 |
-1,12 |
0,68 |
0,11 |
-1,40 |
|
0,34 |
0,08 |
-1,06 |
0,44 |
2,10 |
|
0,11 |
0,12 |
0,00 |
-1,03 |
0,80 |
|
-0,92 |
-0,03 |
0,20 |
-0,04 |
1,20 |
13 |
0,51 |
-1,00 |
0,27 |
-0,08 |
-0,81 |
|
0,33 |
0,10 |
-1,37 |
0,21 |
0,92 |
|
0,11 |
0,60 |
0,03 |
-0,42 |
-0,17 |
|
-0,88 |
-0,23 |
0,25 |
-0,16 |
-1,24 |
14 |
0,14 |
-0,66 |
-0,18 |
0,24 |
0,89 |
|
0,33 |
0,03 |
-0,54 |
-0,32 |
-1,15 |
|
0,12 |
-0,05 |
0,00 |
-0,85 |
0,57 |
|
-0,77 |
-0,14 |
0,06 |
-0,12 |
-1,21 |
15 |
0,12 |
-1,00 |
0,32 |
-0,18 |
0,72 |
|
0,08 |
-0,12 |
-0,77 |
0,32 |
0,58 |
|
0,25 |
0,22 |
0,14 |
-1,00 |
-1,56 |
|
-0,86 |
0,23 |
0,18 |
0,17 |
1,42 |
16 |
0,12 |
-1,14 |
0,08 |
0,09 |
0,83 |
|
0,16 |
0,24 |
-1,00 |
-0,35 |
-1,21 |
|
0,23 |
-0,08 |
0,55 |
-0,75 |
-0,65 |
|
-0,76 |
0,21 |
0,06 |
-0,34 |
-1,42 |
||
17 |
0,05 |
-1,00 |
0,32 |
0,12 |
0,57 |
||
|
0,35 |
-0,27 |
-1,00 |
-0,05 |
-0,68 |
||
|
0,12 |
-0,43 |
0,34 |
-1,21 |
2,14 |
||
Продовження таблиці 1.1 |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
||
|
0,83 |
0,27 |
-0,13 |
-0,11 |
1,42 |
||
18 |
0,13 |
-1,12 |
0,09 |
-0,06 |
-0,48 |
||
|
0,11 |
0,05 |
-1,02 |
0,12 |
2,34 |
||
|
0,13 |
0,18 |
0,24 |
-0,57 |
-0,72 |
||
|
-0,85 |
0,05 |
-0,08 |
0,14 |
0,48 |
19 |
0,32 |
-1,43 |
0,12 |
0,11 |
-1,24 |
|
0,17 |
0,06 |
-1,08 |
0,12 |
-1,15 |
|
0,21 |
-0,16 |
0,36 |
-1,00 |
0,88 |
|
-1,00 |
0,28 |
-0,17 |
0,06 |
-0,21 |
20 |
0,52 |
-1,00 |
0,12 |
0,17 |
1,17 |
|
0,17 |
-0,18 |
-0,79 |
0,00 |
0,81 |
|
0,11 |
0,22 |
0,03 |
-0,95 |
-0,72 |
|
-1,00 |
0,52 |
0,08 |
0,13 |
0,22 |
21 |
0,07 |
-1,38 |
-0,05 |
0,41 |
-1,80 |
|
0,04 |
0,42 |
-0,89 |
-0,07 |
1,3 |
|
0,17 |
0,18 |
-0,13 |
-0,81 |
-0,33 |
|
-0,99 |
0,02 |
-0,62 |
0,08 |
1,3 |
22 |
0,03 |
-0,72 |
0,33 |
-0,07 |
-1,10 |
|
0,09 |
0,13 |
-0,58 |
0,28 |
1,70 |
|
0,19 |
-0,23 |
0,08 |
-0,63 |
-1,50 |
|
-1,00 |
0,17 |
-0,33 |
0,18 |
1,20 |
|
|
23 |
0,00 |
-0,82 |
0,43 |
-0,08 |
-0,33 |
|
|
|
0,22 |
0,18 |
-0,79 |
0,07 |
-0,48 |
|
|
|
0,08 |
0,07 |
0,71 |
-0,96 |
1,20 |
|
|
Продовження таблиці 1.1 |
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
||
|
-0,97 |
-0,05 |
0,22 |
-0,33 |
-0,43 |
||
24 |
0,22 |
-0,45 |
-0,88 |
0,07 |
1,80 |
||
|
0,33 |
0,13 |
-1.08 |
-0,05 |
0,80 |
||
|
0,08 |
0,17 |
0,29 |
-0,67 |
-1,70 |
||
|
-0,87 |
0,22 |
-0,33 |
0,07 |
-0,11 |
25 |
0,00 |
-0,55 |
-0,23 |
0,07 |
0,33 |
|
0,11 |
0,00 |
-1,08 |
0,78 |
-0,85 |
|
0,08 |
0,09 |
0,33 |
-0,79 |
1,70 |
|
-0,68 |
-0,16 |
-0,08 |
0,15 |
-2,42 |
26 |
0,16 |
-1,23 |
0,11 |
-0,21 |
-1,43 |
|
0,05 |
-0,08 |
-1,00 |
0,34 |
0,16 |
|
0,12 |
0,14 |
-0,18 |
-0,94 |
-1,62 |
|
-1,00 |
0,08 |
-0,23 |
0,32 |
-1,34 |
27 |
0,16 |
-1,23 |
0,18 |
0,16 |
2,33 |
|
0,15 |
0,12 |
-0,68 |
-0,18 |
-0,34 |
|
0,25 |
0,21 |
-0,16 |
-0,97 |
-0,63 |
|
-0,94 |
0,18 |
0,33 |
0,16 |
-2,43 |
28 |
0,32 |
-1,00 |
0,23 |
-0,35 |
1,12 |
|
0,16 |
-0,08 |
-1,00 |
-0,12 |
-0,43 |
|
0,09 |
0,22 |
-0,13 |
-1,00 |
-0,83 |