Функції від матриць

Нехай φ(λ) - аналітична функція. Тоді вона може бути подана у вигляді степеневого ряду . Визначимо значення функції φ для матричного аргументу А як матрицю φ(Α), що обчислюється за формулою .

Як приклад знайдемо φ(Α) для А=diag[λ ₁,...,λ_n]. Оскільки A^k= diag[(λ₁)^k,...,(λ_n)^k],то

φ(Α)= a_kdiag[λ^k₁,..., λ^k_n]= diag[a_kλ^k₁,..., a_k λ^k_n]= =diag[ a_kλ ^k₁,..., a_kλ^k_n] = diag[φ(λ₁),…, φ(λ_n)].

Аналогічно, для матриці A=diag (A₁,…,A_m) виконується

φ(Α) = diag[φ(A₁),…, φ(A_n)].

Нехай тепер А - довільна матриця. Їй можна надати діагонального або блочно-діагонального вигляду, а саме, існує така невироджена матриця R, що виконується R^-1AR= diag [А₁,...,А_n], де A_i- квадратні матриці. Тоді одержимо

φ(Α)= =

=

=

=Rdiag(φ(A₁) ),…, φ(A_n))R^-1 .

Отже, маємо загальну формулу обчислення функції від матриці.

Похідні поліноми матриці

Введемо поняття полінома від матричного аргументу. Якщо А-квадратна матриця, то можна обчислити А²=АА. Аналогічно визначається будь-який степінь матриці як добуток цієї матриці на себе відповідне число разів. Розглянемо деякий поліном X(λ)=p₁+p₂λ +…+p_mλ^m-1+λ^m. Значенням цього полінома від матричного аргументу А називається матриця, що позначається X(A) та обчислюється за формулою p₁I+p₂ A+…+p_m A^m-1+A^m.

Розглянемо матрицю λI—А і обчислимо матрицю (λI — А)^-1, що часто використовується в додатках. Для цього скористаємося формулою

(λI-A)^-1= Q_iλ^i-1 , (1.4)

де Q₁,…,Q_n -nn-матриці. Помноживши обидві частини рівності (1.4) на (λI-А), одержимо

X_A(λ)=(λI-A) Q_iλ^i-1. (1.5)

Після множення у правій частині (1.5) одержимо

a₁I+a₂Iλ+…+a_nIλ^n-1+Iλⁿ=

=-AQ₁+(Q₁–AQ₂)λ+(Q₂ –AQ₃)λ²+…+Q_nλⁿ.

Прирівнюючи матриці при однакових степенях λ , знаходимо

Q_n=I,Q_n-1=AQ_n+a_nI,…,Q_i-1=AQ_i+a_iIдля i=n-1,n-2,…,2, Q₀=X(A)=0=AQ₁+a₁I і тому a₁I=-AQ₁. Якщо a₁ 0_, то det A 0, det(Q₁) 0 і A^-1=-Q₁/a₁.

Покажемо, що для будь-якого j матриці А та Q_j переставні. Оскільки AQ_n = Q_nA, то, припускаючи за індукцією, що AQ_j =Q_jA, виконується для j=n-1,…,1, будемо мати для j=i-1, AQ_i-1=A²Q_i+a_iA=AQ_iA+a_iA=

=(AQ_i+a_iI)A=Q_i-1A, тобто AQ_j=Q_jA для всіх j.

З рівності (1.5) випливає Х_A(A)=0, тобто значенням характеристичного полінома матриці від самої матриці є нульова матриця. Цей факт називається теоремою Гамільтона - Келі.

Поліном X(λ) називається анулюючим для матриці А, якщо матриця X(Α) є нульовою, тобто X(Α)=0. Теорема Гамільтона-Келі стверджує, що характеристичний поліном будь-якої матриці є анулюючим поліномом цієї матриці.

Поліном X(λ) називається монічним, якщо коефіцієнт при старшому степені А дорівнює одиниці.

Монічний анулюючий для А поліном найменшого степеня називається мінімальним поліномом матриці А. Останній будемо позначати як φ(λ).

Спробуємо обчислити φ_A(λ). Елементами поліноміальної матриці Ρ(λ)= Q_iλ^i-1 є поліноми A_ij(λ). Нехай монічний поліном d(λ) - найбільший спільний дільник поліномів A_ij(λ).Тоді

Р(λ) = d(λ) S_iλ^i-1 , де т п, і

(X_A(λ)/d(λ))I=(λI-A) S_iλ^i-1 . (1.6)

Оскільки матриця в правій частині рівності (1.6) є поліноміальною, то поліном X_A(λ) ділиться на d(λ), тобто _,А(λ)/d(λ) = ζ_A(λ), де ζ_A(λ) є поліномом. З рівності (1.6) випливає, що ζ_A(λ)= 0, тобто він є анулюючим поліномом. Можна показати, що ζ_A(λ) - мінімальний поліном, тобто ζ_А(λ) =φ_А(λ).

Похідними поліномами матриці А будемо називати поліноми φ₁(λ),…, φ_n(λ), визначені як

φ_n(λ)=1,

φ_i-1(λ)=λφ_i(λ)+a_iλ⁰ для i=n,n-1,...,2. (1.7)

Для i=1 з (1.7) одержуємо φ₀(λ)= Х_А(λ). З визначення φ_j(λ) випливає, що φ_j(λ)=a_j+a_j+1λ+…+a_n λ^n-j-1+λ^n-j і похідні поліноми від матричного аргументу А є такими: φ_n(A)=I,

φ_j-1(A) = Aφ_j (A) + a_jI, j=n,n-1,…,2, (1.8)

тобто маємо Q_j = φ_j(A). Тоді (1.4) набуде вигляду

(λI-A)^-1= . (1.9)

Для λ = 0 одержуємо A^-1 =– φ₁(Α)/a₁.

Якщо А_ij(λ)=сопst, для деяких i і j, тo d(λ)=1 і φ_Α(λ)=X_А(λ).

Коефіцієнти полінома Х_A(λ) можна обчислювати без розкриття визначника детермінанта det(λI-A). У прикладних задачах відомий такий вектор B, що rg(B,АВ,...,А^n-1В)=n, де n - розмірність матриці А.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Вх₁ + АВх₂ + ··· + А^n-1 Вх_n = -АⁿВ

i покажемо, що її розв’язком є x₁=a₁,…, х_n = a_n , де а_i - коефіцієнти X_A(λ).

За теоремою Гамільтона-Келі маємо

a₁I + a₂A +…+a_nA^n-1+Aⁿ=0. (1.10)

Помноживши справа обидві частини рівності (1.10) на B і перенiсши в праву частину вектор АⁿВ, одержимо

Βa₁ + АВа₂ +...+ А^n-1 Ва_n = -Аⁿ В.

З однозначності розкладання вектора за лінійно незалежними B,АВ,...,А^n-1В випливає твердження.

Існує спосіб обчислення коефіцієнтів aι,a₂,...,a_n характеристичного многочлена без розв’язання системи рівнянь. Він називається методом Сур’ї-Фаддєєва і полягає в наступному.

Спочатку обчислюється a_n=-Sр(А). Потім для i=n,n-1,…,2 мають місце рекурентні співвідношення:

φ_i-1(Α)=Aφ_i (Α) + a_iI

R=Aφ_i-1(A),

a_i-1=-Sp(R)/(n-i+2). (1.11)

Цей метод дозволяє також обчислювати обернені матриці, користуючись лише операцією множення матриць.