Власні вектори та власні значення матриць

Алгебраїчна проблема власних значень формулюється таким чином: знайти числа та вектори , , для яких

, (1.3)

де А – задана матриця з множини Mat_n(C) (n×n) – матриць з комплексними єлементами; С – множина комплексних чисел. Числа  називаються власними числами (значеннями), а відповідні вектори х – правими власними векторами матриці А.

Множина

утворює підпростір векторів простору Cⁿ, і цей підпростір має розмір

Число є тоді і лише тоді власним числом матриці А, коли L()0, тобто коли , і .

Многочлен

називається характеристичним многочленом матриці А, і його корені є власними значеннями А. Якщо ₁,...,_k є різними коренями X_A(), то .

Число (_і)=_і називається кратністю власного значення, точніше алгебраїчною кратністю.

Матриці А і В називаються подібними, якщо існує невироджена матриця R, така, що R^-1AR=B.

Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються. Дійсно,

)=det(I-R^-1АR)=det(R^-1(λI-A)R)=

=detR^-1det(λI-A) detR=det( λI-A)=X_A(λ).

Власні вектори матриці А визначаються неоднозначно: якщо х, у є власними векторами, що відповідають власному значенню , то і є відповідним до власним вектором. Нуль-вектор разом з власними векторами якраз і заповнюють підпростір L(), а його розмірність, тобто максимальне число лінійно-незалежних векторів, що відповідають , називається геометричною кратністю власного значення . Відомо, що .

Внаслідок рівностей

маємо: якщо ₀ є власним значенням матриці А, то ₀ є власним значенням і матриці А^Т, а є власним значенням А*. Із співвідношень

випливає, що , але між х та у чи х та z не існує таких простих співвідношень. Вектор z називається спряженим до х.

Оскільки і , то називається ще лівим власним вектором матриці А, який відповідає власному значенню ₀. Неважко також помітити, що перетворення подібності , де зберігає власні значення, а відповідні власні вектори х змінює за формулою . Не змінюється при цьому характеристичний поліном, а також числа () та (): для () це випливає з інваріантності характеристичного многочлена, а для () – з того, що для вектори х₁, ..., х_ є лінійно незалежними тоді і тільки тоді, коли лінійно незалежними є На еквівалентних перетвореннях ґрунтується багато чисельних методів розв’язування проблем власних значень і власних векторів.

Множина усіх власних значень матриці А називається її спектром. Власні значення також називають модами матриці.

Жорданова нормальна форма матриці

Наведемо без доведення теореми про деякі форми представлення матриць.

Теорема . Нехай А - довільна ( ) – матриця і - її різні власні значення з геометричними та алгебраїчними кратностями. Тоді для кожного власного значення існують натуральних чисел таких, що а також невироджена ( ) – матриця Т, така, що матриця яка називається нормальною формою Жордана матриці А, має вигляд

,

де матриці

називаються жордановими клітинами. При цьому числа з точністю до перестановки однозначно визначені, а матриця Т у загальному випадку визначається неоднозначно.

Розкладемо матрицю Т за стовпчиками відповідно до нормальної форми Жордана:

Тоді із співвідношення маємо

.

Позначимо стовпчики - матриці через тобто

Тоді з означення матриць одержимо

,

або

Відмітимо, що є власним вектором матриці А, який відповідає власному значенню . Інші вектори називаються головними векторами, відповідними значенню , і ми бачимо, що кожній клітинці Жордана відповідають один власний вектор і набір головних векторів. Взагалі для кожної ( ) – матриці А можна знайти базис простору , який складається з власних та головних векторів матриці А.

Характеристичні поліноми окремих клітинок Жордана називаються елементарними дільниками матриці А. Таким чином, матриця А має лінійні елементарні дільники тоді і тільки тоді, коли тобто жорданова нормальна форма матриці А є діагональною матрицею. У цьому разі А називається матрицею, що зводиться до діагонального вигляду, або матрицею, що припускає нормалізацію, тобто в є базис, який складається лише з власних векторів матриці А, а головні вектори не з’являються.

Отже, кожну матрицю яка має різні власні значення, можна звести до діагонального вигляду за допомогою перетворення подібності.

Якщо в перетворенні подібності припускати, що Т не довільні несингулярні матриці, то А у загальному випадку не може бути зведена до форми Жордана. Для унітарних матриць Т, тобто має місце така теорема.

Теорема (теорема Шура). Для довільної матриці існує унітарна матриця , така, що

де –– власні значення матриці А.

Якщо А=А*, тобто А є ермітовою матрицею, то є також ермітовою і з теореми Шура випливає така теорема.

Теорема . Для довільної ермітової матриці А існує унітарна матриця , така, що

.

При цьому власні значення матриці А є дійсними, а і-й стовпчик матриці є власним вектором, що відповідає , тобто А має лінійно незалежних власних векторів.

Узагальненням ермітових є нормальні матриці, для яких

Теорема . Матриця є нормальною (А*А=АА*) тоді і лише тоді, коли існує унітарна матриця , така, що

,

тобто нормальні матриці можна звести до діагонального вигляду, вони мають лінійно незалежних ортогональних векторів ,які є стовпчиками матриці

Теорема . Нехай . Тоді:

1) існує унітарна ( ) – матриця та унітарна ( ) – матриця , така, що матриця є діагональною ( ) – матрицею вигляду де –– відмінні від нуля сингулярні числа матриці ––ранг матриці А;

2) відмінними від нуля сингулярними числами матриці А* є також . Розвинення називається сингулярнозначним зображенням матриці А.

Унітарні матриці та можна інтерпретувати таким чином: стовпчики матриці являють собою ортогональних власних векторів ермітової ( ) – матриці АА*, а стовпчики є ортогональними власними векторами ермітової ( ) – матриці А*А, бо Діагональна ( ) – матриця

є псевдооберненою до , або оберненою матрицею Мура – Пенроуза, тобто матрицею, що задовольняє співвідношення: а)

б) в)

Тому, як легко помітити, ( ) – матриця є оберненою до А.