Деякі типи матриць

Нехай С=(c_kj)_m,n –комплексна матриця. Тоді . Тобто С=А+іВ , де А та В –дійсні матриці: –дійсна, В– уявна частина матриці С.

Матриця називається комплексно-спряженою до матриці С. Матриця називається спряженою до матриці С . У таблиці наведено важливі типи квадратних матриць як для випадку, коли матриця А–дійсна, так і для випадку, коли матриця А– комплексна.

Матриця А–дійсна	Матриця А– комплексна
Симетрична матриця:	Ермітова матриця:
Кососиметрична матриця:	Косоермітова матриця:
Ортогональна матриця:	Унітарна матриця:

З квадратною матрицею пов'язаний визначник (детермінант)

.

Не слід ототожнювати ці два поняття: матриця являє собою упорядковану систему чисел, записану у вигляді прямокутної таблиці, а її визначником detА є число, що визначається за відомими правилами, а саме:

де сума поширена на всілякі перестановки елементів 1, 2, …, n і, отже, містить n! доданків, причому x=0, якщо перестановка парна, і x=1, якщо перестановка непарна.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, називається невиродженою. Для невироджених матриць і тільки для них уводиться поняття оберненої матриці. Матриця Q називається оберненою для невиродженої матриці A, якщо виконується . Обернена до A матриця позначається .

Операція обертання матриці має такі властивості:

1) ;

2) ;

Обернена матриця може бути обчислена за формулою

,

де - алгебраїчне доповнення елемента . , де - це мінор, що відповідає елементу , тобто визначник, отриманий викреслюванням -го рядка та -го стовпчика.

Метод елементарних перетворень для знаходження обернених матриць.

Для заданої матриці А n-го порядку будується прямокутна матриця Г_А=(А׀Е) розміром n*2n, приписуванням до А праворуч одиничної матриці. Далї, використовуючи елементарні претворення над рядками, матриця Г_А зводиться до вигляду (Е׀В), що завжди можливо, якщо А невироджена. Тоді В=А^-1 .

Зауважимо, що метод елементарних перетворень для визначення обернених матриць має також назву метод Жордана-Гауса, або метод повного включення. В методі повного включення процес отримання оберненої матриці формалізовано і подано у вигляді деякої системи правил.

Нехай елементами матриці є функції А=[f_ij(t)]. Похідна dA(t)/dt матриці А(t) – це матриця B(t)=[df_ij(t)/dt]. Інтеграл .

Властивості операції обчислення визначника

Нехай A₁, A₂, ..., A_n – стовпчики, а A¹, A², ..., Aⁿ – рядки матриці А.Тоді:

а) det(A₁,…, A_i, ..., A_n)=det(A₁,…, A_i, ..., A_n)=detA ;

б) det col(A₁, …, A_i, ..., A_n)=detA;

в) det(A₁,…, A_i+μB, A_i+1, ..., A_n)=λdet(A₁,…, B, A_i+1, ..., A_n) -

det не зміниться, якщо до будь-якого стовпчика додати лінійну комбінацію інших стовпчиків;

г) знак det зміниться, якщо поміняти місцями два будь-які стовпчики матриці А;

д) detA=detA’;

є)якщо стовпці лінійно незалежні, то detA≠0.

Аналогічні властивості мають місце і для рядків. Окрім того:

1) det(AB)=detA×detB;

2) det(λA)=λⁿdetA;

3) для обернених матриць det(A^-1)=1/detA.