Дискретне перетворення Лапласа
Нехай
-
n-вимірна
функція дискретного аргументу k.
Через
будемо позначати упорядкований
нескінченний набір векторів
який також будемо називати функцією.
Визначимо на множині функцій
оператор
зі значеннями в множині функцій
комплексної змінної
як
.
Оператор
називається дискретним перетворенням
Лапласа. Образ функції
при перетворенні Лапласа будемо позначати
як
,
і тоді
.
(2.11)
Далі
добутком
,
де А
–
матриця, будемо вважати функцію
.
Оператор
має певні властивості.
По-перше,
він є лінійним оператором. Дійсно, для
будь-яких матриць А
та В
і будь-яких функцій
і
виконується рівність
.
Друга
властивість полягає в наступному. Нехай
,
такі, що
для всіх k.
Геометрично це означає, що графік функції
можна отримати зміщенням уліво на один
крок графіка функції
.
Тоді для образів Лапласа
і
виконується
.
Дійсно, маємо
.
Якщо
така, що
,
то
.
Можна показати, що якщо
і
,
то
.
Зауваження.
Дискретне перетворення Лапласа іноді
визначають як
,
де р - комплексна змінна, а формулу (2.11)
називають z-перетворенням.
Обидва визначення еквівалентні, тому
що між комплексними змінними
і
існує взаємно-однозначна відповідність
.