Випадкові процеси в дискретному часі

Дискретним за часом випадковим процесом, або випадковою послідовністю, називається послідовність , де і для кожного k є випадковою величиною.

Випадкова послідовність називається білим шумом, якщо для випадкові величини і є некорельованими, тобто . Якщо при цьому для кожного k має гаусівську щільність розподілу імовірностей, то така називається гаусівським білим шумом.

Оскільки для , то векторний гаусівський білий шум цілком визначається вектором математичного сподівання і матрицею коваріацій .

У більшості додатків, у тому числі в економіці, поведінка реального фактора як випадкового процесу досить добре моделюється рівнянням

(2.6)

де ; n і - процес білого шуму.

Процес може бути описаний еквівалентною моделлю

, (2.7)

, (2.8)

де .

Маючи модель (2.7), (2.8), легко одержати імовірнісні характеристики процесу і, отже, процесу . Нехай і , де - відома матриця. Позначимо через математичне сподівання . Тоді з (2.8) маємо . Для коваріаційної матриці процесу одержуємо

.(2.9)

Через те що і незалежні, і

, з (2.9) одержуємо

, тобто

. (2.10)

Рівняння (2.10) при відомих і дозволяє обчислювати для усіх .

.

Перетворення Лапласа

Співвідношення

називають прямим перетворенням Лапласа. Комплексна змінна називається оператором Лапласа, де - кутова частота, - деяке додатне постійне число. Функція комплексної змінної називається зображенням сигналу за Лапласом. Операція визначення зображення за оригіналом скорочено записується , де - символ прямого перетворення Лапласа.

Перетворення Лапласа оборотне, тобто, знаючи зображення, можна визначити оригінал, використовуючи співвідношення зворотного перетворення

або , де - символ зворотного перетворення Лапласа.

Відзначимо, що перетворення Лапласа зображує вихідну функцію лише при , а поводження вихідної функції при ніяк не позначається на зображенні. Одержимо зображення за Лапласом для імпульсних функцій:

,

оскільки при ,

, і при .

.

На практиці для виконання прямого і зворотного перетворень Лапласа використовуються таблицю перетворень, фрагмент якої наведений у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

	1

Таблиці перетворення Лапласа можуть бути використані для визначення Фур'є-зображень таких функцій, що абсолютно інтегруються, що дорівнюють 0 при . Для одержання Фур'є-зображень у цьому випадку досить припустити в зображенні за Лапласом . У загальному вигляді це запишеться так:

,

якщо при і .

Розглянемо формулювання основних теорем перетворення Лапласа.

Теорема лінійності. Будь-яке лінійне співвідношення між функціями часу справедливо і для зображень за Лапласом цих функцій:

.

Теорема про диференціювання оригіналу.

Якщо і , то

,

де - початкове значення оригіналу. Для другої похідної використовують

.

Для похідної -го порядку справедливим є таке співвідношення:

.

Для похідної -го порядку при нульових початкових умовах справедливо

,

тобто диференціювання -го степеня оригіналу за часом при нульових початкових умовах відповідає множенню зображення на .

Теорема про інтегрування оригіналу:

.

Зауваження. В області зображень за Лапласом складні операції диференціювання й інтегрування зводяться до операцій множення і ділення на , що дозволяє переходити від диференціальних і інтегральних рівнянь до алгебраїчних. Це є головною перевагою перетворення Лапласа як математичного апарата теорії автоматичного керування.

Теорема запізнювання. Для будь-якого справедливим є співвідношення

.

Теорема про згортку (множення зображень).

,

де .

Теорема про граничні значення.

Якщо , то

якщо існує.

Для визначення оригіналу функції за її зображенням використовують зворотне перетворення Лапласа. Функцію зображення необхідно представити у формі Хевісайта, скориставшись необхідною формулою розкладання дробово-раціональної функції. Отриману суму найпростіших дробів піддають зворотному перетворенню Лапласа. Для цього можна скористатися таблицями перетворення Лапласа, що визначають зображення багатьох функцій. Фрагмент таблиці перетворення Лапласа наведений у табл. 1. У тих випадках, коли маються комплексно-спряжені полюси зображення, необхідно перетворити відповідні найпростіші дроби до вигляду, зручного для використання таблиці перетворення Лапласа. Істотно полегшує перетворення використання персонального комп'ютера з пакетами математичних програм, що містять функції прямого і зворотного перетворень Лапласа.

Приклад

Визначимо оригінал за зображенням у вигляді дробово-раціональної функції

.

Використовуємо розкладання Хевісайта для дробово-раціональної функції з одним нульовим полюсом. Тоді

.

Коефіцієнти розкладання мають вигляд

.

Зображення у формі Хевісайта має вигляд

.

Використовуємо теорему про лінійність і таблицю перетворень до кожного доданка, у результаті одержуємо

.

Графік функції оригіналу має вигляд, показаний на рис. 2.3.

Рисунок 2.3

Пояснимо алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь операторним методом на прикладі розв’язання диференціального рівняння 2 порядку в загальному вигляді

,

де , ,. .

Застосуємо теорему про диференціювання для визначення зображень похідних:

,

.

Нехай , тоді .

Одержимо операторне рівняння, використовуючи теорему лінійності:

,

.

Розв’язуємо рівняння відносно :

.

Знайдемо , використовуючи розкладання Хевісайта: ,

де ,

.

Варто звернути увагу на одержання зображення похідної східчастої одиничної функції , що визначається в такий спосіб:

Якщо використовувати

,

то розв’язок буде помилковим, тому варто користуватися так званими "лівими" початковими умовами

.

Справедливість цього можна легко перевірити підстановкою розв’язку у вихідне диференціальне рівняння.