Вступ

Сучасні уявлення про математичне моделювання і його аналіз мають широкий спектр і різнобічно трактуються в дуже великій кількості наукових видань спеціалістами різного профілю. У цьому посібнику пропонується розглянути ці проблеми з точки зору математичної теорії систем, яка дає строго формалізоване наукове підґрунтя методам побудови та дослідження математичних моделей. Математичне моделювання є невід’ємною складовою будь-якого дослідження об’єктів живої чи неживої природи. Воно дозволяє шляхом математичних співвідношень визначитися з нашими уявленнями про процеси, що підлягають вивченню. Вочевидь, характер самих моделей передбачає певну ідеалізацію процесів, які вони описують. Існує розвинений апарат математичної статистики, регресійного аналізу та інших математичних теорій, що дозволяють оцінити вірогідність моделей та їх можливості для оцінки процесів, що визначають життєдіяльність досліджуваних об’єктів.

Системою будемо вважати сукупність взаємопов’язаних процесів, що виникають в процесі функціонування певного об’єкта. Математична теорія систем займається дослідженням таких процесів через аналіз їх математичних моделей. Вона є науковою базою, що дозволяє робити висновки про життєдіяльність не лише науково-природничих систем.

Зародження в 50-х роках у США науково-прикладного напрямку, який отримав назву „системний аналіз”, було викликано необхідністю прогнозувати процеси та керувати ними в таких галузях життєдіяльності суспільства, наукові знання про які були дуже обмеженими. До них, зокрема, належать і програми господарчої діяльності та військового планування. Якщо, наприклад, у інженерно-технічних розробках, фізиці, хімії були встановлені універсальні природничо-наукові закони, що дозволили ефективно проводити аналіз та прогноз поведінки досліджуваних систем, то в галузі господарчої діяльності, де задіяні велика кількість виробників, кредитно-фінансова система, адміністративні органи, або у військовому плануванні встановити такі суспільні закони було неможливо. Взагалі специфікою системного аналізу є те, що :

1) тут немає такого набору універсальних законів, як у природничих науках;

2) проблеми важко формалізувати;

3) вирішення проблем потребує обробки величезних масивів інформації;

4) містять велику кількість суб'єктів діяльності, що обумовлює важливість врахування психологічних факторів.

Слід також мати на увазі, що в суспільстві відбуваються не тільки матеріальні процеси, які пов'язані з виробництвом, споживанням та обміном товарів, але й нематеріальні процеси в галузі суспільної свідомості, від яких також суттєво залежить розвиток народногосподарських процесів. Уявлення багатьох людей про те, що є гарним а що поганим, до чого треба прагнути, а чого уникати, якого типу відносини повинні бути між людьми, якими є громадянська відповідальність, мораль, національний менталітет, ставлення до релігії, – усе це визначає духовний стан суспільства. Цей стан змінюється із часом. Більш того, його можна цілеспрямовано змінювати. Для цього існують методи як духовного, так і матеріального впливу. За приклад можна взяти систему освіти, пропагандистську або іншу діяльність через засоби масової інформації. Засобами керування також є підкуп, обман, залякування, фальсифікація, провокації і таке інше.

Природно виникає питання: чи існує в будь-якій проблемній ситуації якась закономірність, порядок, без чого неможливий прогноз результатів рішень, які приймаються. На нього в теорії систем дається позитивна відповідь. А саме, якою б складною, міждисциплінарною не була система, завжди існує закон, та все, що в ній трапляється, всі процеси визначаються дією цього закону. Тому при вивченні конкретної системи завдання системного аналітика полягає у виявленні відповідного їй закону та представлення його мовою придатної наукової теорії.

У галузі системного аналізу накопичена велика кількість моделей. Однак ця множина моделей ніяк не структурована і являє собою аморфну масу, що не дозволяє порівнювати різні моделі, навіть якщо вони побудовані для одного й того самого об’єкту.

Навпаки, у теорії систем моделі розрізняються за певними класами. Наприклад, одна й та сама проблемна ситуація може бути описана моделями з класу цілком керованих та класу не цілком керованих систем. Безумовно, та модель є найкращою, яка описує ті й тільки ті процеси, що потенційно можливі в модельованій ситуації. А це, як зазначено в теорії систем, буде в тому випадку, коли модель є повністю керованою та повністю спостережуваною.

Хоча предмет у системному аналізі й не визначається (не дається визначення поняття системи, у зв’язку із чим не зовсім зрозуміло, чому цей аналіз одержав назву системний), у ньому сформувалася загальна методика організації розв’язування задач. Вона має циклічну форму. Кожний цикл складається з таких етапів:

1) виділення показників розвитку проблемної ситуації;

2) для цих показників виявлення релевантних , тобто впливових, факторів; розподіл цих факторів на керуючі та збурювальні;

3) визначення в первинній моделі закону, якому підпорядковується зміна показників;

4) оцінка початкового стану проблемної ситуації як системи;

5) розроблення та опис первинної мети розвитку;

6) розроблення первинної моделі динаміки факторів-збурень та на її основі первинний прогноз збурень;

7) розроблення на основі первинної моделі альтернатив впливів факторами-керуваннями та відбір серед них тієї, котра найкраще забезпечує досягнення мети розвитку;

8) впровадження в реальній ситуації знайденої найкращої альтернативи.

Надалі виконуються операції наступного циклу, який будемо називати другим:

1) отримання інформації про поведінку показників у результаті прийнятої альтернативи дій;

2) на її основі аналіз та уточнення моделі проблемної ситуації та моделі факторів-збурень;

3) уточнення мети;

4) оцінка нового стану проблемної ситуації як системи;

5) прогноз факторів-збурень;

6) відповідно до нового стану вироблення множини альтернатив дій та відбір серед них найкращої для досягнення мети;

7) реалізація в конкретній ситуації виробленої альтернативи;

8) перехід до наступного циклу, який має перелічені в другому циклі операції.

Методична процедура системного аналізу – це не що інше, як загальносистемне адаптивне керування зі зворотним зв’язком. У термінах теорії систем показники розвитку проблемної ситуації мають назву виходи, релевантні фактори називають входами, модель системного аналізу – це наближений опис закону перетворень входів у виходи, альтернатива дій – це програма керування. Вироблення альтернатив дії за уточненою в процесі керування моделлю – це керування з адаптацією. Перелічені серед вирішених у кожному циклі системного аналізу задачі є основними задачами теорії систем. Таким чином, методичним фундаментом системного аналізу може бути лише математична теорія систем.

Розглядаючи менеджмент як суспільну науку керування і з огляду на те, що керування як такого не існує, а є керування системами, можна дійти висновку, що фундаментом наукового підходу в цій галузі може бути тільки теорія систем, як вона оформилася в математиці. Це вимагає володіння досить серйозним математичним апаратом. У книзі наведені саме ті розділи, знання яких необхідні для розв’язання загальносистемних проблем керування, що позбавить читача від пошуку відповідних математичних тем в інших літературних джерелах

Значне місце приділене викладенню методів лінійної алгебри, що є фундаментом багатьох математичних теорій, зокрема, обчислювальної математики. Поряд із традиційними розділами розглядаються похідні поліноми матриць, матриці Фробеніуса, метод Сур’ї-Фаддєєва, функції від матриць.

Різницеві рівняння є основним методом опису дискретних за часом процесів, зокрема процесів у економічних системах, що потребувало викладу основ їхньої теорії. Розглянуті також випадкові величини і випадкові послідовності.

Наводиться найпростіша класифікація математичних представлень систем, тобто їхніх моделей відповідно до структури задіяних відображень і множин. Формулюються основні проблеми теорії: виявлення і форми представлення закону поведінки систем, прогнозування, оцінювання станів, керування і керованості. Викладаються основи теорії керування, досяжності, спостережуваності, діагностованості і наводяться відповідні критерії Калмана і Хаутуса. Ці властивості пов'язані зі структурою системи. Тому викладено теорію Калмана про канонічну декомпозицію систем. Даються початкові відомості про найважливішу властивість системи, її стійкість, наведені критерії стійкості.

Книга написана на основі курсу лекцій, що читав у Сумському державному університеті на кафедрі прикладної математики професор, доктор фізико-математичних наук Мороз Олександр Іванович. Він є визнаним авторитетом у розробленні методів системного аналізу дискретних математичних моделей, працював довгий час професором Московського інституту економіки і математики. Саме його погляди на курс „Теорія систем та математичне моделювання” автори обстоюють при викладанні цієї дисципліни студентам механіко-математичного факультету. В підручнику наведені приклади задач, що виникають в межах проблем, які розглядаються. Пропонуються варіанти завдань для глибокого засвоєння матеріалу. Їх розробляла, а також працювала над викладенням математичного забезпечення курсу Л.Д. Назаренко.

Розділ 1 Елементи алгебри матриць

Система m n чисел (дійсних або комплексних), розміщених у прямокутній таблиці з m рядків і n стовпців,

A= , (1.1)

називається матрицею.

Числа (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n), які складають дану матицю, називаються її елементами. Тут перший індекс i позначає номер рядка елемента, а другий j- номер його стовпця.

Для матриці (1.1) часто вживається скорочений запис

A=[ ] (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n), або A=[ ] ,

причому говорять, що матриця А має розмір m n.

Якщо m=n , то матриця називається квадратною порядку n. Якщо ж m n ,то матриця називається прямокутною. Матриця розміру 1 n називається вектором-рядком , а матриця розміру m 1 – вектором -стовпцем. Число можна розглядати як матрицю розміру 1 1. Квадратна матриця вигляду

А (1.2)

називається діагональною і позначається diag[ ].

У випадку, якщо =1 (i=1,2,…,n), матриця (1.2) називається одиничною і має вигляд

Е= .

Увівши символ Кронекера , можна записати .

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається через 0.

Матриця А=[a_ij] називається діагональною, якщо а_іі=r_i, a_ij=0 (ij): A=diag[r₁, … , r_n].

Представити матрицю А в блочному вигляді – означає розбити її на матриці A_ij, так:

A= .

Блоки A_ij мають однакову кількість рядків і стовпчиків між собою. Якщо ж A_ij=0 для ij, вона називається блочно-діагональною і позначається як diag[A₁₁, A₂₂, … , A_kk ].

Слід матриці А – це число .

Дії над матрицями

Дві матриці A=[ ] і В=[ ] вважаються рівними А=В, якщо вони одного розміру, тобто мають однакову кількість рядків і стовпчиків, і відповідні елементи їх рівні, тобто = (i, j=1, 2, …, n).

Сумою двох матриць A=[ ] і B=[ ] одного розміру називається матриця C=[ ] того самого розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів і матриць А і В, тобто = + .Таким чином,

А+B= .

З визначення суми матриць безпосередньо випливають такі її властивості:

1)А+(B+C)=(А+B)+C;

2)А+B=B+А;

3)А+0=А.

Аналогічно визначається різниця матриць

A-B= .

Добутком матриці A=[ ] на число α (або добутком числа α на матрицю А) називається матриця, елементи якої отримані множенням всіх елементів матриці на число α, тобто

.

З визначення добутку числа на матрицю безпосередньо випливають такі його властивості:

1. 1×А=А;

2. 0×А=0;

3. ( А)=( )А;

4. ( )А= А+ А;

5. (А+B)= А+ B, (А і В-матриці; і - числа).

Матриця -А=(-1)×А називається протилежною.

Нехай

А= ,B= – матриці розмірів відповідно і . Якщо число стовпчиків матриці А дорівнює числу рядків матриці В, то для цих матриць визначена матриця С розміру , що називається їх добутком :

С= , де

З визначення випливає правило множення матриць: щоб одержати елемент, що стоїть в i-му рядку та j-му стовпчику добутку двох матриць, треба елементи i-го рядка першої матриці помножити на відповідні елементи j-го стовпчика другої і отримані добутки додати.

Добуток А×В має сенс тоді і тільки тоді, коли матриця А містить у рядках стільки елементів, скільки елементів міститься в стовпцях матриці В. Зокрема, можна перемножити квадратні матриці лише однакового порядку.

Замінивши в матриці А=

розміру рядки стовпцями, одержимо транспоновану матрицю:

А'=А^Т= розміру .

Зокрема, для вектора-рядка а= транспонованою матрицею є вектор-стовпець

а'= .

Транспонована матриця має такі властивості:

а) двічі транспонована матриця збігається з вихідною: А"=(А')'=А;

б) транспонована матриця суми дорівнює сумі транспонованих матриць, що додаються,

тобто(А+B)'=А'+В';

в) транспонована матриця добутку дорівнює добуткові транспонованих матриць співмножників, узятих у зворотному порядку, тобто(AB)'=B'A'.

Рангом матриці називається найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля. Позначення rgA. Відмінний від нуля мінор матриці A , порядок якого r= rgA , називається базисним мінором.

Теорема . Базисні рядки матриці А лінійно незалежні. Будь-який рядок матриці А може бути поданий у вигляді лінійної комбінації базисних рядків.

З теореми випливає, що максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює її рангу. Система рядків матриці, що містить у собі базисний мінор, утворює базис у системі рядків цієї матриці. Аналогічні твердження мають місце для стовпчиків.

Елементарні перетворення матриць:

1. перестановка рядків (стовпців);

2. множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

3. додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Основними методами обчислення рангу є метод обвідних мінорів та метод елементарних перетворень.

Метод обвідних мінорів для обчислення рангу. Нехай в матриці знайдено мінор k-го порядку М, відмінний від нуля. Розглянемо тільки ті мінори (k+1)-го порядку, які містять у собі (обводять) мінор М. Якщо усі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. У протилежному випадку серед обвідних мінорів знайдеться ненульовий мінор (k+1)-го порядку, і вся процедура повторюється.

Метод елементарних перетворень для знаходження рангу. Метод базується на теоремі про незмінність рангу при елементарних перетвореннях. За допомогою елементарних перетворень дану матрицю А перетворюють у матрицю В , ранг якої легко знаходиться, Тоді, rgA= rgВ.

Матриці А та В, для яких rgA=rgВ називають еквівалентними: А~В.