Вариант 22

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = y- ; б) z = .

2. Вычислить приближенно 4/((1,03)²+(2,97)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sint, y = cost при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в данной точке M₀ (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+2y²+z²-4xz = 8, M₀(0,2,0);

б) S: 2x²-y+2z² = 0, M₀(1,10,2).

8. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М₀(2,2) функция z = x³+y³-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?

9. Исследовать на экстремум функцию z = y -y²-x+6y

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³-y³-3xy в области

D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.

Вариант 23

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin(1-x²-y²) + arcsin2xy.

2. Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy)-3xy².

4. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin2t, y = tg² t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-y²-z²+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = 3+ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-2z²-2y = 0, M₀(-1,-1,1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(-1,1,2).

8. В направлении какой линии y² = 4x или x²+y² = 5 в т. М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?

9. Исследовать на экстремум функцию z = x²-xy+y²+9x-6y+20.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4(x-y)-x²-y² в области

D: 2y + x = 4, x-2y = 4.

Вариант 24

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(25-x²-y²); б) z = arctg( ).

2. Вычислить приближенно (0,99)5,05.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: +z³-3z = 3, в данной точке M₀ (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-3z²+xy = -2z, M₀(1,0,1);

б) S: y²-4y+z = 0, M₀(1,-2,-12).

8. В направлении какой линии: x² + y² = 8 или y = -x в т. M₀(-2, 2) функция z = изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-y²+2xy-4x в области

D: y = x+1, y = 0, x = 3.