Вариант 19

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = -8; б) .

2. Вычислить приближенно (2,03)2/ .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y²-4xy+sin(2xy²).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = , где , при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x³+2y³+z³—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²-y²) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+xz+4y = 4, M₀(1,1,2);

б) S: x²+5y²+z² = 10, M₀(1,-1,2).

8. Найти направление наибольшего возрастания функции u = x²y²z в любой точке и в т. М₀(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.

9. Исследовать на экстремум функцию z = xy-x²-y²+9.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-3x-2y в области

D: y = 0, y = 4, x = 0,x = 4.

Вариант 20

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) .

2. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)⁴+(2,97)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y-x²-3).

4. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin t,y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²-3y²+z²-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция e^{– cos(x+3y)} указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-z²+xz-4x = -5, M₀(-2,1,0);

б) S: x²-y²+z² = 30, M₀(3,2,5).

8. В направлении какой линии : y² = 4x или x²+y² = 5 в т.М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x²-2y²+10.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + xy-2 в области

D: y = 4x²-4, y = 0.

Вариант 21

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(3x-y); б) z = .

2. Вычислить приближенно 3,09e ^0,09.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x-y³)+x.

4. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = lnt, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z² = y-z+3, в данной точке M₀ (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^x(xcosy-ysiny) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz+yz-3x = 11, M₀(1,4,-1);

б) S: x²+y²-4x+2y+4 = 0, M₀(2,-2,0).

8. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M₀(-1,1,-1) ,чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью?

9. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + 8y³-6xy +1.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² y (4-x-y) в области

D: y = 6-x, y = 0, x = 0.